§ 3.2. Рациональные уравнения

Уравнения вида

где многочлены, называются рациональными.

Найдя корни уравнения затем надо проверить, какие из них не являются корнями уравнения Эти корни и только они будут решениями уравнения (I).

В этом параграфе приводятся некоторые специальные методы решения уравнений вида (I).

3.2.1. Упрощение уравнения.

При помощи замены неизвестных рациональное уравнение часто сводится к алгебраическому или более простому рациональному уравнению. Пример 1. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Обозначив через у, данное уравнение перепишем в виде Поскольку не есть решение этого уравнения, то это уравнение равносильно уравнению Решения этого уравнения есть и Следовательно, уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

Первое из этих уравнений на множестве всех —3/2 равносильно уравнению

а второе — уравнению

Решения уравнения (3) есть решения уравнения (4) есть . Следовательно, решениями уравнения (1) будут числа

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Обозначим через и, тогда уравнение (5) перепишется в виде

Уравнение (6) имеет два корня: Поэтому уравнение (5) равносильно совокупности уравнений

Решения первого уравнения этой совокупности есть Решения второго уравнения есть Следовательно, решениями исходного уравнения (5) являются числа

Ответ:

3.2.2. Уравнения вида ...

Уравнение

при некоторых условиях на числа может быть решено следующим образом. Группируя члены уравнения (7) по два и суммируя каждую пару, надо получить в числителях многочлены первой или нулевой степени, отличающиеся

только числовыми множителями, а в знаменателях — трехчлены с одинаковыми двумя членами, содержащими х, тогда после замены переменных полученное уравнение будет либо иметь также вид (7), но с меньшим числом слагаемых, либо будет равносильно совокупности двух уравнений, одно из которых будет первой степени, а второе будет уравнением вида (7), но с меньшим числом слагаемых.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Сгруппировав в левой части уравнения (8) первый член с последним, а второй с предпоследним, перепишем уравнение (8) в виде

Суммируя в каждой скобке слагаемые, перепишем уравнение (9) в виде

Так как не есть решение уравнения (10), то, разделив это уравнение на , получим уравнение

равносильное уравнению (10). Сделаем замену неизвестного и, тогда уравнение (11) перепишется в виде

Таким образом, решение уравнения (8) с пятью слагаемыми в левой части сведено к решению уравнения (12) того же вида.

но с тремя слагаемыми в левой части. Суммируя все члены в левой части уравнения (12), перепишем его в виде

Решения уравнения есть Ни одно из этих чисел не обращает в нуль знаменатель рациональной функции в левой части уравнения (13). Следовательно, уравнение (13) имеет эти два корня, и поэтому исходное уравнение (8) равносильно совокупности уравнений

Решения первого уравнения этой совокупности есть

Решения второго уравнения из этой совокупности есть

Поэтому исходное уравнение имеет корни

Ответ:

3.2.3. Уравнения вида ...

Уравнение

при некоторых условиях на числа и можно решить так: надо выделить целую часть в каждой из дробей уравнения, т. е. заменить уравнение (14) уравнением

свести его к виду (7) и затем решить его способом, описанным в предыдущем пункте.

ПРИМЕР 4. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение (15) в виде

или в виде

Суммируя слагаемые в скобках, перепишем уравнение (16) в виде

Делая замену неизвестного перепишем уравнение (17) в виде

Суммируя члены в левой части уравнения (18), перепишем его в виде

Легко видеть, что уравнение (19) имеет два корня: Следовательно, исходное уравнение (15) имеет четыре корня:

Ответ: .

3.2.4. Уравнения вида

Уравнение вида

при некоторых условиях на числа можно решать так: разложив (если это, конечно, возможно) каждую из дробей в левой части уравнения (20) в сумму простейших дробей

свести уравнение (20) к виду (7), затем, проведя удобную перегруппировку членов полученного уравнения, решать его методом, изложенным в пункте 3.2.2.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Поскольку , то, умножив числитель каждой дроби в уравнении (21) на 2 и заметив, что

уравнение (21) можно записать в виде

Уравнение (22) имеет вид (7). Перегруппировав слагаемые в этом уравнении, перепишем его в виде

или в виде

Уравнение (23) равносильно совокупности уравнений

и

Для решения второго уравнения совокупности (24) сделаем замену неизвестного Тогда оно перепишется в виде

или в виде

Суммируя все члены в левой части уравнения (25), перепишем его в виде

Так как уравнение не имеет корней, то уравнение (26) их также не имеет.

Первое уравнение совокупности (24) имеет единственный корень . Поскольку этот корень входит в ОДЗ второго уравнения совокупности (24), то он является единственным корнем совокупности (24), а значит, и исходного уравнения. Ответ: .

3.2.5. Уравнения вида

Уравнение

при некоторых условиях на числа после представления каждого слагаемого в левой части в виде

может быть сведено к виду (7).

ПРИМЕР 6. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение (28) в виде

или в виде

Таким образом, уравнение (28) сведено к виду (7). Теперь, группируя первый член с последним, а второй с третьим, перепишем уравнение (29) в виде

Это уравнение равносильно совокупности уравнений

Последнее уравнение совокупности (30) можно переписать в виде

Решения этого уравнения есть так как входит в ОДЗ второго уравнения совокупности (30), то совокупность (30) имеет три корня: Все они есть решения исходного уравнения.

Ответ:

3.2.6. Уравнения вида ...

Уравнения вида

при некоторых условиях на числа и А заменой неизвестного можно свести к уравнению вида х

Пример 7. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Так как не является решением уравнения (32), то, разделив числитель и знаменатель каждой дроби в левой части на х, перепишем его в виде

Сделав замену переменных перепишем уравнение (33) в виде

Решения уравнения (34) есть Поэтому уравнение (33) равносильно совокупности уравнений

Корни первого уравнения этой совокупности есть и Второе уравнение решений не имеет. Следовательно, совокупность (35), а значит, и исходное уравнение имеют два корня:

Ответ: