4.1.3. Использование монотонности.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности основывается на следующих утверждениях.

1. Пусть непрерывная и строго монотонная функция на промежутке тогда уравнение где С — данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке

2. Пусть непрерывные на промежутке I функции, строго возрастает, а строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение может иметь не более одного решения на промежутке

Отметим, что в качестве промежутка могут быть бесконечный промежуток промежутки отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Пример 13. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Очевидно, что не может являться решением уравнения (18), так как тогда Для функция непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих х функций Значит, в области функция принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что является решением уравнения (18), следовательно, это его единственное решение.

Ответ:

Пример 14. Решить неравенство

Решение. Каждая из функций непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, такой же является и исходная функция Легко видеть, что при функция принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при имеем при имеем

Следовательно, решениями неравенства (19) являются все

Ответ:

Пример 15. Решить уравнение

Решение. Область допустимых значений уравнения (20) есть промежуток На ОДЗ функции непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция Поэтому каждое свое значение функция принимает только в одной точке. Так как то является единственным корнем исходного уравнения.

Ответ:

Пример 16. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (21) есть промежуток На ОДЗ функция является непрерывной и строго возрастающей. Так как то все значения х из множества [0; 1) удовлетворяют исходному неравенству.

Ответ:

Пример 17. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение (22) в виде

Рассмотрим функции Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке Так как на промежутке функция возрастает, а функция убывает, то на этом промежутке уравнение может иметь не более одного корня.

Легко проверить, что таким корнем является число Так как на промежутке функция убывает, а функция возрастает, то на этом промежутке уравнение также может иметь не более одного корня. Легко видеть, что таким числом является число Итак, данное уравнение (22) имеет два корня

Ответ:

Пример 18. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (23) есть все х из промежутка Все х из промежутка являются решениями исходного неравенства (23), так как для каждого такого х имеем, что функция неотрицательна, а функция отрицательна.

Рассмотрим неравенство (23) на промежутке Поскольку функция непрерывна и строго возрастает на этом промежутке, а функция непрерывна и строго убывает, то, если уравнение имеет корень на этом промежутке, то он единственный. Легко видеть, что таким корнем является число

Для каждого х из промежутка (0; 1) имеем, что Поэтому все х из этого промежутка являются решениями исходного неравенства (23).

Для каждого х из промежутка имеем Поэтому такие х не удовлетворяют данному неравенству (23).

Итак, решениями исходного неравенства (23) являются все х из промежутка .

Ответ:

Пример 19. Сколько действительных корней имеет уравнение

если числа а и одного знака?

Решение. Так как числа а и одного знака, то для любого При очевидно,

что уравнение (24) имеет единственный корень Пусть с Перепишем данное уравнение в виде

Функция для каждого принимает положительные значения и является непрерывной и строго возрастающей на промежутке и непрерывной и строго убывающей на промежутке Если то функция непрерывна и строго убывает на всей с оси и принимает все положительные значения для и отрицательные значения для Поэтому уравнение (25) имеет единственный корень на промежутке Если то функция непрерывна и строго возрастает на всей оси и принимает все положительные значения для и отрицательные значения для Поэтому уравнение (25) имеет единственный корень на промежутке Ответ: единственный корень.