§ 4.3. Применение производной

В предыдущих параграфах были рассмотрены применения некоторых свойств функций, входящих в уравнение, например, свойства монотонности, ограниченности, существование наибольшего и наименьшего значений и т. д. Иногда вопрос о монотонности, об ограниченности и в особенности о нахождении наибольшего и наименьшего значений функций элементарными методами требует трудоемких и тонких исследований, однако он существенно упрощается при применении производной. В этом параграфе будет показано применение производной при решении уравнений и неравенств.

4.3.1. Использование монотонности.

В дальнейшем будем пользоваться следующими утверждениями.

1. Если функция имеет положительную производную на промежутке то эта функция возрастает на этом промежутке.

2. Если функция непрерывна на промежутке и имеет внутри промежутка положительную производную, то эта функция возрастает на промежутке

3. Если функция имеет на интервале тождественно равную нулю производную, то эта функция есть постоянная на этом интервале.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим функцию

Область определения этой функции есть промежуток На этом промежутке непрерывна, внутри его имеет производную

Эта производная положительна внутри промежутка Поэтому функция возрастает на промежутке Следовательно, она принимает каждое свое значение ровно в одной точке. А это означает, что уравнение (1) имеет не более одного корня. Легко видеть, что является корнем уравнения (1) и по сказанному выше других корней не имеет.

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Рассмотрим функцию Поскольку эта функция на промежутке имеет производную которая положительна на этом промежутке,

то функция возрастает на промежутке и потому принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня. Легко видеть, что таким корнем уравнения является Поскольку функция определена на всей прямой и непрерывна на ней, то для имеем а при имеем Поэтому решениями неравенства (2) являются все х из промежутка

Ответ:

Пример 3. Решить неравенство

РЕШЕНИЕ. ОДЗ неравенства (3) есть промежуток Рассмотрим функцию Эта функция на промежутке I имеет производную Легко видеть, что для любых х из промежутка Так как на промежутке функция непрерывна, то это означает, что на промежутке функция возрастает. Поскольку то для любого Поэтому любое является решением неравенства (3).

Так как для любого непрерывна на промежутке то функция убывает на промежутке Поскольку то для любого Следовательно, любое является решением неравенства (3). Поскольку то не есть решение неравенства (3).

Таким образом, все решения неравенства (3) составляют два промежутка .

Ответ: