4.1.5. Метод интервалов для непрерывных функций.

Пусть надо решить неравенство (или неравенство Пусть ОДЗ этого неравенства состоит из объединения конечного числа промежутков занумерованных в порядке следования слева направо. При этом, если то могут быть соответственно бесконечными промежутками Промежутки соответственно могут быть отрезками интервалами и полуинтервалами В случае же может быть любым из перечисленных промежутков, а также промежутком Предположим также, что на каждом из промежутков функция непрерывна и имеет конечное число нулей. Отметим на числовой прямой нули функции и выбросим из ОДЗ неравенства эти точки. При этом некоторые из промежутков могут разбиться на некоторое число промежутков. На каждом из полученных промежутков функция непрерывна и не обращается в нуль. Значит, на каждом из них она сохраняет постоянный знак,

т. е. для каждого х из этого промежутка она принимает только либо положительные, либо отрицательные значения. Выбирая в каждом из промежутков некоторую точку и вычисляя знак этот знак ставят над этим промежутком. Тогда решением неравенства будет объединение тех промежутков, над которыми поставлен знак плюс, а решением неравенства будет объединение тех промежутков, над которыми поставлен знак минус.

Пример 24. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (33) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям е. ОДЗ есть объединение двух промежутков: и Нули функции есть Выбросив их из ОДЗ, получим промежутки (рис. 11). Определим знаки функции на каждом из этих промежутков.

Рис. 11

Поскольку то на промежутке функция принимает отрицательные значения, на промежутках положительные значения, а на промежутке отрицательные значения.

Следовательно, множеством решений неравенства (33) является объединение промежутков

Ответ:

Пример 25. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (34) состоит из всех х, удовлетворяющих условиям т. е. ОДЗ состоит из трех промежутков: Нули функции

есть Выбросив их из ОДЗ, получим промежутки (рис. 12). Легко видеть, что

Рис. 12

Следовательно, множеством решений неравенства (34) является объединение четырех промежутков:

Ответ: