2.2.5. Неравенства вида ...

Согласно общему методу решения неравенств, содержащих неизвестную в основании логарифмов, неравенство

равносильно при неравенству

которое можно переписать в виде

Последнее неравенство равносильно совокупности систем неравенств

или совокупности систем неравенств

Поэтому неравенство вида (31) можно решать следующим образом:

1. Перейти от неравенства (31) к равносильной совокупности неравенств (32).

2. Решить совокупность неравенств (32), ее решения и будут решениями неравенства (31).

Пример 9. Решить неравенство

Решение. Неравенство (33) равносильно совокупности двух систем неравенств:

Система (34) равносильна совокупности двух систем:

из которых первая не имеет решений, а решения второй составляют промежуток

Система (35) равносильна совокупности систем неравенств

Решения первой системы этой совокупности есть множество а вторая система решении не имеет.

Следовательно, решениями исходного неравенства являются все х из объединения двух промежутков

Ответ:

Процесс решения неравенства вида (31) иногда оформляют следующим образом:

1. Находят ОДЗ неравенства (31).

2. Разбивают ОДЗ неравенства (31) на два множества та часть ОДЗ, где та часть ОДЗ, где

3. На решают неравенство равносильное на исходному неравенству.

4. На решают неравенство равносильное на исходному неравенству.

Объединяя решения, найденные на получают все решения исходного неравенства.

Пример 10. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (36) определяется из условий состоит из двух промежутков:

а) Пусть Для этих х исходное неравенство равносильно неравенству

Так как для рассматриваемых х, то неравенство (37) равносильно неравенству , которое можно записать в виде

Решениями неравенства (38) являются все х из промежутка Из этих х условию удовлетворяют х из промежутка

Следовательно, в случае а) решения исходного неравенства составляют промежуток

б) Пусть Для этих х исходное неравенство равносильно неравенству

Так как для рассматриваемых х, то неравенство (39) равносильно неравенству , которое можно переписать в виде

Решениями неравенства (40) являются все х из двух промежутков Ни одно из этих х не удовлетворяет условию Следовательно, в случае б) исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: