1.1.6. Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам.

Иногда при разложении многочлена на множители бывают полезными следующие утверждения:

1) если многочлен с целыми коэффициентами имеет корень несократимая дробь), то делитель свободного члена делитель старшего коэффициента

2) если каким-либо образом подобран корень многочлена степени то многочлен можно представить в виде где многочлен степени

Многочлен можно найти либо делением многочлена на двучлен “столбиком”, либо соответствующей группировкой слагаемых многочлена и выделением из них множителя либо методом неопределенных коэффициентов.

ПРИМЕР 7. Разложить на множители многочлен

Решение. Поскольку коэффициент при равен 1, то рациональные корни данного многочлена, если они существуют, являются делителями числа 6, т. е. могут быть целыми числами ±1, ±2, ±3 и ±6. Обозначим данный многочлен через Так как то числа 1 и -1 не являются корнями многочлена Поскольку то является корнем многочлена значит, данный многочлен делится на двучлен Поэтому

Следовательно, Так как , то .