2.1.4. Умножение уравнения или неравенства на функцию.

В некоторых случаях полезно умножение обеих частей уравнения или неравенства, содержащих радикалы, на некоторую функцию имеющую смысл на их ОДЗ.

При решении уравнения этим способом надо либо следить за равносильностью преобразований на ОДЗ исходного уравнения, либо в конце решения надо делать проверку, так как могут появиться посторонние корни.

При решении неравенства надо следить за равносильностью преобразований неравенства на его ОДЗ, и поэтому можно умножать обе части неравенства на функцию, принимающую на ОДЗ неравенства только значения одного знака либо разбивать ОДЗ на промежутки, на которых функция знакопостоянна, и делать равносильные преобразования на этих промежутках.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Умножив обе части уравнения на функцию получим уравнение

являющееся следствием уравнения (40). Перепишем уравнение (41) в виде

Следствием уравнения (42) является уравнение

Решениями уравнения (43) являются Проверка показывает, что является корнем исходного уравнения, являются его корнями.

Ответ:

Пример 8. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех х, удовлетворяющих одновременно условиям е. ОДЗ есть все На ОДЗ уравнение (44) можно переписать в виде

или в виде

После умножения обеих частей уравнения (45) на функцию принимающую на ОДЗ уравнения (44) только положительные значения, получим уравнение

равносильное исходному на его ОДЗ. Поскольку выражение обращается в нуль при то разобьем множество на два множества: Для любого [1/2; 5] левая часть уравнения (46) неположительна, а правая положительна. Значит, ни одно из этих х не может быть решением уравнения (46), а значит, и исходного уравнения.

Для любого обе части уравнения (46) положительны, и оно на этом множестве равносильно уравнению

т. е. уравнению

Уравнение (47) на множестве равносильно уравнению

т. е. уравнению

Решения уравнения (48) есть Из этих значений х условию удовлетворяет только оно и является решением исходного уравнения.

Ответ:

Пример 9. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (49) состоит из всех х, для которых Поскольку на то, умножив неравенство (49) на функцию получим неравенство

равносильное исходному на множестве

При имеем и неравенство (50) перепишется в виде

Решения неравенства (51) составляют промежуток

Поэтому для этих решения неравенства (50) составляют промежуток

При неравенство (50) перепишется в виде

Решения неравенства (52) составляют промежуток Поэтому для этих х решения неравенства (50) составляют промежуток Следовательно,

множеством решений неравенства (49) является объединение промежутков

т. е. интервал

Ответ: