Глава III. Способ замены неизвестных при решении уравнений

Если дано уравнение

то заменой неизвестной оно сначала сводится к уравнению

а потом после нахождения всех решений уравнения (II)

сводится к решению совокупности уравнений

Этот прием достаточно хорошо известен, и поэтому в этой главе ему уделяется мало внимания. В основном в этой главе рассматриваются замены неизвестных для различных частных случаев уравнений, не записанных в виде (I).

§ 3.1. Алгебраические уравнения

3.1.1. Понижение степени уравнения.

Некоторые алгебраические уравнения заменой в них некоторого многочлена одной буквой могут быть сведены к алгебраическим уравнениям, степень которых меньше степени исходного уравнения и решение которых проще.

Пример 1. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Обозначим через тогда уравнение (1) можно переписать в виде Последнее уравнение имеет корни Следовательно, уравнение (1) равносильно совокупности уравнений Решения первого уравнения этой совокупности есть Решения второго уравнения есть Решениями уравнения (1) являются

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Умножив обе части уравнения на 12 и обозначив через 2, получим уравнение Переписав это уравнение в виде

и обозначив через , перепишем уравнение (3) в виде Последнее уравнение имеет корни Поэтому получаем, что уравнение (3) равносильно совокупности двух уравнений Решения этой совокупности уравнений есть е. уравнение равносильно совокупности уравнений

Решениями совокупности (4) являются они и являются решениями уравнения (2).

Ответ: .

3.1.2. Уравнения вида ...

Уравнение

где и с — данные числа, можно свести к биквадратному уравнению с помощью замены неизвестной

т. е. замены

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Обозначим через у, т. е. сделаем замену переменных или Тогда уравнение (6) можно переписать в виде или, применяя формулу в виде

Поскольку корни квадратного уравнения есть то решения уравнения (7) есть решения совокупности уравнений Эта совокупность уравнений имеет два решения Следовательно, решения уравнения (6) есть

Ответ:

3.1.3. Уравнения вида ...

Уравнение

где числа и А таковы, что а заменой неизвестных

сводится к биквадратному уравнению.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Сделаем замену неизвестных

или . Тогда уравнение (9) можно переписать в виде в виде

Биквадратное уравнение (10) имеет два корня: Следовательно, уравнение (9) также имеет два корня:

Ответ:

3.1.4. Уравнения вида ...

Уравнение

где с не имеет корня поэтому, разделив уравнение (11) на получим равносильное ему уравнение

которое после замены неизвестной перепишется в виде квадратного уравнения, решение которого не представляет трудностей.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Так как не является корнем уравнения (12), то, разделив его на получим равносильное ему уравнение

Делая замену неизвестной получим уравнение которое имеет два корня: Следовательно, исходное уравнение (12) равносильно совокупности уравнений

Эта совокупность имеет два корня: Ответ:

Замечание. Уравнение вида

у которого всегда можно привести к виду (11) и, более того, считая к виду

3.1.5. Уравнения вида ...

Уравнение

где числа а, таковы, что можно переписать, перемножив первую скобку со второй, а третью с четвертой, в виде

т. е. уравнение (13) теперь записано в виде (11), и его решение можно проводить так же, как решение уравнения (11). Пример 6. Решить уравнение

Решение. Уравнение (14) имеет вид (13), поэтому перепишем его в виде

или в виде

Так как не есть решение этого уравнения, то, разделив его обе части на получим равносильное исходному уравнение — Делая замену переменных

получаем квадратное уравнение решения которого есть Следовательно, исходное уравнение (14) равносильно совокупности уравнений

Решения первого уравнения этой совокупности есть

Второе уравнение этой совокупности решений не имеет. Итак, исходное уравнение имеет корни

Ответ:

3.1.6. Уравнения вида ...

Уравнение

где числа таковы, что не имеет корня поэтому, разделив уравнение (15) на получим равносильное ему уравнение

которое после замены неизвестной перепишется в виде квадратного уравнения, решение которого не представляет трудностей.

Пример 7. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Так как не является корнем уравнения (16), то, разделив обе его части на получим уравнение

равносильное уравнению (16). Сделав замену неизвестной уравнение (17) перепишем в виде

Квадратное уравнение (18) имеет два корня: Поэтому уравнение (17) равносильно совокупности уравнений

Совокупность уравнений (19) имеет четыре корня: Они будут корнями уравнения (16).

Ответ:

3.1.7. Уравнения вида ...

Пусть многочлен обладает свойством: для некоторого фиксированного числа а справедливо тождественное равенство Тогда можно показать, что существует многочлен такой, что справедливо тождественное

равенство при этом многочлен должен быть четной степени.

Поэтому уравнение можно переписать в этом случае в виде уравнения где степень которого меньше степени уравнения

Для решения таких уравнений можно поступить следующим образом: сначала сделать замену неизвестной тогда получим алгебраическое уравнение той же степени что и уравнение но уже содержащее только четные степени у. Делая затем замену неизвестной получим алгебраическое уравнение уже степени к.

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим многочлен

Поскольку легко проверить, что то уравнение (20) есть уравнение рассматриваемого вида. Сделаем замену неизвестной или тогда уравнение (20) перепишется в виде

Так как то, подставляя эти выражения в левую часть уравнения (21) и раскрывая четвертые степени по формуле

получим, что уравнение (21) перепишется в виде

Уравнение (22) имеет два корня: Следовательно, исходное уравнение имеет также два корня: и

Ответ: