§ 4.2. Решение некоторых уравнений и неравенств сведением их к решению систем уравнений или неравенств относительно той же неизвестной

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ

ZADANIA.TO

§ 4.2. Решение некоторых уравнений и неравенств сведением их к решению систем уравнений или неравенств относительно той же неизвестной

4.2.1. Уравнения вида ...

Уравнения вида

равносильны системе уравнений

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение (4) в виде

откуда очевидно, что уравнение (5) равносильно системе уравнений

Первое уравнение этой системы имеет единственное решение которое не удовлетворяет второму уравнению системы (6). Следовательно, система (6) не имеет решений. Ответ: нет решений.

Пример 2. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Перепишем уравнение (7) в виде

Это уравнение равносильно системе уравнений

Решение первого из этих уравнений есть Проверка показывает, что это число также является и решением второго уравнения системы (8). Следовательно, является решением исходного уравнения (7).

Ответ:

Отметим, что к системе (3) сводится и ряд других уравнений. Приведем пример.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение

Решение. Для любых х справедливы неравенства

Поэтому уравнение (9) равносильно системе уравнений

имеющей единственное решение

Ответ:

4.2.2. Неравенства вида ...

Решениями неравенств вида

являются все х из их ОДЗ, за исключением тех х, которые являются решениями системы уравнений

Пример 4. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (13) есть все Для нахождения решений неравенства (13) надо исключить из ОДЗ все решения системы уравнений

Эта система имеет единственное решение следовательно, решениями неравенства (13) являются все кроме

Ответ:

Пример 5. Решить неравенство

Решение. Перепишем неравенство (14) в виде

Для любого х справедливы неравенства

Поэтому неравенство (14) не выполняется лишь для таких х, что одновременно

т. е. для

Следовательно, решениями исходного неравенства (14) являются все х, кроме

Ответ: Отметим, что к системе (12) сводятся иногда и другие неравенства.

Пример 6. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (15) являются все х, удовлетворяющие условию т. е. ОДЗ есть все На ОДЗ справедливы неравенства

Поэтому неравенство (15) выполняется для всех х из ОДЗ, кроме тех, которые удовлетворяют системе уравнений

Решениями второго уравнения этой системы являются Из них первому уравнению удовлетворяет только Итак, решениями данного неравенства (15) являются все х из промежутка

Ответ:

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Оглавление

От авторов
Глава I. Алгебраические уравнения и неравенства
§ 1.1. Разложение многочлена на множители
1.1.2. Применение формул сокращенного умножения.
1.1.3. Выделение полного квадрата.
1.1.4. Группировка.
1.1.5. Метод неопределенных коэффициентов.
1.1.6. Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам.
1.1.7. Метод введения параметра.
1.1.8. Метод введения новой неизвестной.
1.1.9. Комбинирование различных методов.
§ 1.2. Простейшие способы решения алгебраических уравнений
§ 1.3. Симметрические и возвратные уравнения
1.3.2. Симметрические уравнения четвертой степени.
1.3.3. Возвратные уравнения.
1.3.4. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты.
§ 1.4. Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений
1.4.2. Угадывание корня уравнения.
1.4.3. Использование симметричности уравнения.
1.4.4. Использование суперпозиции функций.
1.4.5. Исследование уравнения на промежутках действительной оси.
§ 1.5. Решение алгебраических неравенств
1.5.2. Метод интервалов.
1.5.3. Обобщенный метод интервалов.
Глава II. Уравнения и неравенства, содержащие радикалы, степени, логарифмы и модули
§ 2.1. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком корня
2.1.4. Умножение уравнения или неравенства на функцию.
§ 2.2. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифмов
2.2.2. Переход к основанию, содержащему неизвестную.
2.2.3. Уравнения вида …
2.2.5. Неравенства вида …
§ 2.3. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и показателе степени
§ 2.4. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком абсолютной величины
2.4.6. Использование свойств абсолютной величины.
Глава III. Способ замены неизвестных при решении уравнений
§ 3.1. Алгебраические уравнения
§ 3.2. Рациональные уравнения
§ 3.3. Иррациональные уравнения
3.3.3. Сведение решения иррационального уравнения к решению тригонометрического уравнения.
§ 3.4. Уравнения вида
§ 3.5. Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных
Глава IV. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций
§ 4.1. Применение основных свойств функций
4.1.2. Использование ограниченности функций.
4.1.3. Использование монотонности.
4.1.4. Использование графиков.
4.1.5. Метод интервалов для непрерывных функций.
§ 4.2. Решение некоторых уравнений и неравенств сведением их к решению систем уравнений или неравенств относительно той же неизвестной
4.2.3. Использование ограниченности функций.
4.2.4. Использование свойств синуса и косинуса.
4.2.5. Использование числовых неравенств.
§ 4.3. Применение производной
4.3.2. Использование наибольшего и наименьшего значений функции.
4.3.3. Применение теоремы Лагранжа.
Дополнения