3.3.3. Сведение решения иррационального уравнения к решению тригонометрического уравнения.

Заменой неизвестной решение иррациональных уравнений иногда можно свести к решению тригонометрических уравнений. При этом полезными могут оказаться следующие замены неизвестной.

1. Если в уравнение входит радикал то можно сделать замену или

2. Если в уравнение входит радикал то можно сделать замену

3. Если в уравнение входит радикал то можно сделать замену

Пример 5. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения (30) есть все действительные х. Сделаем замену неизвестной где можно считать, что Тогда уравнение (30) запишется в виде

Поскольку для рассматриваемых то уравнение (31) для этих равносильно уравнению

Уравнение (32) равносильно совокупности уравнений

Из решений этих уравнений промежутку принадлежит только Поэтому соответствующее х есть

Ответ: .

ПРИМЕР 6. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. ОДЗ уравнения (34) состоит из всех х, удовлетворяющих условию Ясно, что никакое отрицательное х из ОДЗ не может быть решением уравнения (34). Следовательно, все решения уравнения (34) лежат в области . Сделаем замену неизвестной , где можно считать, что Тогда уравнение (34) можно переписать в виде

Это уравнение для рассматриваемых равносильно уравнению

которое для этих равносильно уравнению

Делая замену неизвестной уравнение (37) можно переписать в виде

Уравнение (38) имеет корни Поэтому уравнение (37) равносильно совокупности уравнений

Первое уравнение совокупности (39) не имеет решений из промежутка так как для любого 10 из этого промежутка Следовательно, все решения уравнения (35), удовлетворяющие условию содержатся среди решений второго уравнения совокупности (39). Обозначая это уравнение для рассматриваемых можно записать в виде

Уравнение (40) имеет два корня: Поэтому уравнение (35) на промежутке имеет два решения: а это означает, что уравнение (34) имеет два корня:

Ответ:

ПРИМЕР 7. Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение

Решение. Так как искомые корни удовлетворяют условию то делаем замену неизвестной Тогда каждому корню исходного уравнения будет соответствовать ровно один корень где уравнения

и, наоборот, каждому корню уравнения (42) соответствует ровно один корень [0; 1] уравнения (41). Таким образом, задача может быть переформулирована так: сколько корней на промежутке имеет уравнение

Поскольку то перепишем уравнение (42) в виде

Так как не есть корень уравнения (43), то оно равносильно на промежутке уравнению

или уравнению или, наконец, уравнению

Решения уравнения (44) есть

Из этих чисел условию удовлетворяют только три числа Следовательно, исходное уравнение (41) имеет на отрезке [0; 1] три корня.

Ответ: три корня.