Глава IV. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций

§ 4.1. Применение основных свойств функций

4.1.1. Использование ОДЗ.

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ. Пример 1. Решить уравнение

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям е. ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, т. е. что уравнение не имеет корней. Ответ: решений нет.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям , т. е. ОДЗ есть Подставляя эти значения х в уравнение (1), получаем, что его левая и правая части равны 0, а это означает, что все являются его решениями.

Ответ:

Пример 3. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (2) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям т. е. ОДЗ состоит из двух чисел Подставляя в неравенство (2), получаем, что его левая часть равна 0, правая равна есть решение неравенства (2). Подставляя в неравенство (2), получаем, что не является его решением, поскольку левая часть неравенства (2) равна 0, а правая часть равна

Ответ:

Пример 4. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (3) есть все х, удовлетворяющие условию Ясно, что не является решением неравенства (3). Для х из промежутка имеем Следовательно, все х из промежутка являются решениями неравенства (3).

Ответ:

Пример 5. Решить неравенство

РЕШЕНИЕ. ОДЗ неравенства (4) есть все х из промежутка Разобьем это множество на два промежутка

Для х из промежутка имеем Следовательно, на этом промежутке, и поэтому неравенство (4) не имеет решений на этом промежутке.

Пусть х принадлежит промежутку тогда Следовательно, для таких значит, на этом промежутке неравенство (4) также не имеет решений.

Итак, неравенство (4) решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Замечания. 1. При решении уравнений необязательно находить ОДЗ. Иногда проще перейти к следствию и проверить

найденные корни (соответствующие примеры уже были в предыдущих главах).

2. При решении неравенств иногда можно не находить ОДЗ, а решать неравенство переходом к равносильной ему системе неравенств, в которой либо одно из неравенств не имеет решений, либо знание его решения помогает решить систему неравенств.

Пример 6. Решить неравенство

РЕШЕНИЕ. Отыскание ОДЗ неравенства есть непростая задача, поэтому поступим иначе. Неравенство (5) равносильно системе неравенств

Третье неравенство этой системы равносильно неравенству не имеющему решений. Следовательно, система неравенств (6) не имеет решений, значит, и неравенство (5) не имеет решений.

ОТВЕТ: нет решений.

Пример 7. Решить неравенство

Решение. Нахождение ОДЗ неравенства (7) есть трудная задача. Поэтому поступим иначе. Неравенство (7) равносильно системе неравенств

Третье неравенство этой системы имеет решениями все х из промежутка — Первое неравенство системы (8) справедливо не для всех х из этого промежутка, а лишь для х из промежутка Для всех х из промежутка второе неравенство справедливо. Следовательно, множеством решений системы (8) является промежуток

Ответ: