§ 1.4. Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений

В этом параграфе будут приведены некоторые нестандартные способы решения алгебраических уравнений.

1.4.1. Умножение уравнения на функцию.

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию — многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней — корней многочлена, на который умножали уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получать равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Пример 1. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Умножив обе части уравнения на многочлен не имеющий корней, получим уравнение

равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде

Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому и уравнение (1) их не имеет.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Умножив обе части этого уравнения на многочлен , получим уравнение

являющееся следствием уравнения (4), так как уравнение (5) имеет корень , не являющийся корнем уравнения (4).

Уравнение (5) есть симметрическое уравнение четвертой степени. Поскольку не является корнем уравнения (5), то, разделив обе его части на и перегруппировав его члены, получим уравнение

равносильное уравнению (5). Обозначив перепишем уравнение (6) в виде

Уравнение (7) имеет два корня: . Поэтому уравнение (6) равносильно совокупности уравнений

Решив каждое из этих уравнений, найдем четыре корня уравнения (6), а тем самым и уравнения (5):

Так как корень является посторонним для уравнения (4), то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет три корня:

Ответ:

Замечание. Прием, рассмотренный в примере 2, можно применять к уравнениям, которые после умножения на некоторый многочлен превращаются в возвратные или симметрические уравнения.

Например, таким образом можно решать уравнения вида

где . В самом деле, умножив это уравнение на многочлен получим симметрическое уравнение четвертой степени, среди корней которого содержится и корень Отметим, что этот корень может быть посторонним корнем для уравнения (8).