4.1.4. Использование графиков.

При решении уравнений или неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ еще надо обосновать.

Пример 20. Решить неравенство

РЕШЕНИЕ. ОДЗ неравенства (26) есть все х из промежутка Эскизы графиков функций и

Рис. 7

представлены на рис. 7. Из рисунка следует, что для всех х из ОДЗ неравенство (26) справедливо. Докажем это. Для каждого имеем а для каждого такого х имеем, что Значит, для каждого имеем Следовательно, решениями неравенства (26) будут все х из промежутка

ОТВЕТ:

Пример 21. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения (27) есть все х из промежутка — Эскизы графиков функций представлены на рис. 8. Проведем прямую . Из рисунка следует, что график функции лежит не ниже этой прямой, а график функции не выше. При этом эти графики касаются прямой в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого имеем При этом только для только для Это означает, что уравнение (27) не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Рис. 8

Пример 22. Решить уравнение

Решение. Эскизы графиков функций представлены на рис. 9. Легко проверяется, что точка является точкой пересечения графиков функций т. е. есть решение уравнения (28). Проведем прямую Из рисунка следует, что она расположена между графиками функций Это наблюдение и помогает доказать, что других решений уравнение (28) не имеет.

Для этого докажем, что для х из промежутка справедливы неравенства для х из промежутка справедливы неравенства

Очевидно, что неравенство справедливо для а неравенство для Решим неравенство Это неравенство равносильно неравенству которое можно переписать в виде

Рис. 9

Решениями этого неравенства являются все Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все

Следовательно, требуемое утверждение доказано, и уравнение (28) имеет единственный корень

Ответ:

Пример 23. Решить неравенство

Решение. Область допустимых значений данного неравенства состоит из всех х, удовлетворяющих условиям т. е. ОДЗ состоит из трех промежутков Рассмотрим неравенство (29) на каждом из этих промежутков. Отметим, что

в области оно равносильно неравенству

а в области оно равносильно неравенству

Эскизы графиков функций приведены на рис. 10.

Рис. 10

Из рисунка видно, что на промежутке на каждом из промежутков Поэтому неравенство (31) не имеет решений, а неравенство (30) будет иметь решениями все х из промежутка

Докажем это.

а) Пусть Неравенство (29) равносильно на этом промежутке неравенству (30). Легко видеть, что для каждого х из этого интервала справедливы неравенства

Следовательно, неравенство (30), а вместе с ним и исходное неравенство (29) не имеют решений на интервале .

б) Пусть Тогда неравенство (29) также равносильно неравенству (30). Для каждого х из этого интервала

Последовательно, любое такое х является решением неравенства (30), а поэтому и исходного неравенства (29).

в) Пусть На этом множестве исходное неравенство равносильно неравенству (31). Очевидно, что для любого х из этого множества справедливы неравенства

Отсюда следует: 1) неравенство (31) не имеет решений на том множестве, где , т. е. неравенство (31) не имеет решений на множестве неравенство (31) не имеет решении на том множестве, где Учитывая, что в рассматриваемом случае получаем, что неравенство (31) не имеет решений на множестве Остается найти решения неравенства (31), принадлежащие интервалу

На этом интервале

Покажем теперь, что справедливо числовое неравенство

Действительно, поскольку то откуда и очевидна справедливость неравенства (32). Итак, на интервале имеем

Значит, неравенство (31) не имеет решений на интервале Подводя итог, получаем, что множество решений исходного неравенства есть интервал

Ответ: