Главная > Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2.2. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифмов

В этом параграфе рассматриваются уравнения и неравенства вида

При решении таких уравнений и неравенств надо учитывать, что их ОДЗ определяется из условий:

1) на ОДЗ все функции имеют смысл;

2) на ОДЗ основания логарифмов, т. е. функции должны удовлетворять условиям

3) на ОДЗ функции, находящиеся под знаком логарифма, должны быть положительны, т. е. на ОДЗ должны выполняться неравенства

2.2.1. Переход к числовому основанию.

Одним из основных способов решения уравнений и неравенств вида (1) и (2) является следующий.

1. Найти ОДЗ уравнения или неравенства.

2. Перейти в логарифмах к некоторому основанию а, где а — фиксированное число, заменить уравнение (1) равносильным ему на ОДЗ уравнением

а неравенство равносильным ему на ОДЗ неравенством

3. Решить полученное стандартное по внешнему виду уравнение (3) (или неравенство на ОДЗ исходного уравнения (или неравенства). Его решения и будут решениями исходного уравнения (или неравенства).

Заметим, что ОДЗ уравнений (1) и (3) и неравенств (2) и (4) совпадают, поэтому можно сразу переходить от уравнения (1) к уравнению (3) и от неравенства (2) к неравенству (4) и решать их на своей ОДЗ.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения (5) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям

т. е. состоит из двух промежутков Переходя в (5) к логарифмам по основанию, например, 2, получим уравнение

равносильное уравнению (5) на ОДЗ. Поскольку для этих х имеем то уравнение (6) можно записать в виде

или, так как на ОДЗ , в виде

Обозначим через тогда уравнение (7) можно переписать в виде Решения последнего уравнения есть Следовательно, уравнение (7) равносильно на ОДЗ исходного уравнения совокупности уравнений

Первое из уравнений этой совокупности не имеет решений, а решение второго уравнения есть Это число принадлежит ОДЗ исходного уравнения и, следовательно, является единственным его решением.

Ответ:

ПРИМЕР 2. Решить неравенство

РЕШЕНИЕ. ОДЗ неравенства (8) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям т. е. ОДЗ состоит из двух промежутков:

Перейдем в логарифмах неравенства (8) к логарифмам по основанию, например, 2. В результате получим неравенство

равносильное исходному на его ОДЗ. Поскольку на ОДЗ исходного неравенства имеем

и то неравенство (9) для этих х можно переписать в виде

или в виде

или, наконец, в виде

Так как то на ОДЗ исходного неравенства следовательно Поэтому неравенство (10) равносильно неравенству Решения последнего неравенства есть все Поскольку все входят в ОДЗ исходного неравенства, то все они являются его решениями.

Ответ:

Отметим, что иногда при решении уравнений и неравенств вида (1) и (2) нецелесообразно переходить к некоторому постоянному основанию, так как это может сделать более громоздкой запись уравнения (или неравенства) и не облегчит процесс его решения.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Поскольку то ОДЗ исходного уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям

т. е. ОДЗ состоит из двух промежутков: и Легко видеть, что переход в логарифмах к некоторому основанию а приведет к громоздким выражениям.

Поэтому поступим иначе: преобразуем уравнение на его ОДЗ. Исходное уравнение на своей ОДЗ равносильно уравнению

т. е. уравнению

Обозначим через Тогда поскольку на ОДЗ

то уравнение (12) можно переписать в виде

Это уравнение имеет корни Следовательно, исходное уравнение на своей ОДЗ равносильно совокупности двух уравнений:

Первое из этих уравнений равносильно на рассматриваемой области уравнению

т. е. уравнению

Это уравнение имеет два корня: из которых ни один не входит в рассматриваемую область, и поэтому не является решением исходного уравнения. Второе уравнение совокупности (13) равносильно на области уравнению решения которого есть Из этих значений только входит в рассматриваемую область и потому является единственным корнем исходного уравнения.

Ответ:

1
Оглавление
email@scask.ru