§ 2.2. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифмов

В этом параграфе рассматриваются уравнения и неравенства вида

При решении таких уравнений и неравенств надо учитывать, что их ОДЗ определяется из условий:

1) на ОДЗ все функции имеют смысл;

2) на ОДЗ основания логарифмов, т. е. функции должны удовлетворять условиям

3) на ОДЗ функции, находящиеся под знаком логарифма, должны быть положительны, т. е. на ОДЗ должны выполняться неравенства

2.2.1. Переход к числовому основанию.

Одним из основных способов решения уравнений и неравенств вида (1) и (2) является следующий.

1. Найти ОДЗ уравнения или неравенства.

2. Перейти в логарифмах к некоторому основанию а, где а — фиксированное число, заменить уравнение (1) равносильным ему на ОДЗ уравнением

а неравенство равносильным ему на ОДЗ неравенством

3. Решить полученное стандартное по внешнему виду уравнение (3) (или неравенство на ОДЗ исходного уравнения (или неравенства). Его решения и будут решениями исходного уравнения (или неравенства).

Заметим, что ОДЗ уравнений (1) и (3) и неравенств (2) и (4) совпадают, поэтому можно сразу переходить от уравнения (1) к уравнению (3) и от неравенства (2) к неравенству (4) и решать их на своей ОДЗ.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения (5) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям

т. е. состоит из двух промежутков Переходя в (5) к логарифмам по основанию, например, 2, получим уравнение

равносильное уравнению (5) на ОДЗ. Поскольку для этих х имеем то уравнение (6) можно записать в виде

или, так как на ОДЗ , в виде

Обозначим через тогда уравнение (7) можно переписать в виде Решения последнего уравнения есть Следовательно, уравнение (7) равносильно на ОДЗ исходного уравнения совокупности уравнений

Первое из уравнений этой совокупности не имеет решений, а решение второго уравнения есть Это число принадлежит ОДЗ исходного уравнения и, следовательно, является единственным его решением.

Ответ:

ПРИМЕР 2. Решить неравенство

РЕШЕНИЕ. ОДЗ неравенства (8) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям т. е. ОДЗ состоит из двух промежутков:

Перейдем в логарифмах неравенства (8) к логарифмам по основанию, например, 2. В результате получим неравенство

равносильное исходному на его ОДЗ. Поскольку на ОДЗ исходного неравенства имеем

и то неравенство (9) для этих х можно переписать в виде

или в виде

или, наконец, в виде

Так как то на ОДЗ исходного неравенства следовательно Поэтому неравенство (10) равносильно неравенству Решения последнего неравенства есть все Поскольку все входят в ОДЗ исходного неравенства, то все они являются его решениями.

Ответ:

Отметим, что иногда при решении уравнений и неравенств вида (1) и (2) нецелесообразно переходить к некоторому постоянному основанию, так как это может сделать более громоздкой запись уравнения (или неравенства) и не облегчит процесс его решения.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Поскольку то ОДЗ исходного уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям

т. е. ОДЗ состоит из двух промежутков: и Легко видеть, что переход в логарифмах к некоторому основанию а приведет к громоздким выражениям.

Поэтому поступим иначе: преобразуем уравнение на его ОДЗ. Исходное уравнение на своей ОДЗ равносильно уравнению

т. е. уравнению

Обозначим через Тогда поскольку на ОДЗ

то уравнение (12) можно переписать в виде

Это уравнение имеет корни Следовательно, исходное уравнение на своей ОДЗ равносильно совокупности двух уравнений:

Первое из этих уравнений равносильно на рассматриваемой области уравнению

т. е. уравнению

Это уравнение имеет два корня: из которых ни один не входит в рассматриваемую область, и поэтому не является решением исходного уравнения. Второе уравнение совокупности (13) равносильно на области уравнению решения которого есть Из этих значений только входит в рассматриваемую область и потому является единственным корнем исходного уравнения.

Ответ: