Главная > Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

4.2.5. Использование числовых неравенств.

Иногда, применяя то или иное числовое неравенство к одной из частей уравнения (неравенства), его можно заменить равносильной ему системой уравнений. Примером такого неравенства является неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим — где а и — положительные числа, причем равенство здесь возможно лишь при

Часто бывает полезно пользоваться следствиями из этих неравенств, например, а при причем тогда и только тогда, когда при причем а тогда и только тогда, когда

Пример 13. Решить уравнение

Решение. ОДЗ этого уравнения есть все действительные числа. Переписав левую часть уравнения (35) в виде

замечаем, что она не меньше четырех, как сумма двух взаимно обратных положительных величин, и только при она равна четырем. В то же время правая часть при также равна четырем, а для всех меньше четырех. Следовательно, есть единственное решение уравнения (35). Ответ:

Пример 14. Решить уравнение

Решение. Докажем, что для любых положительных чисел а и 6 справедливо неравенство

В самом деле, применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом сначала к числам затем к числам а и , имеем

откуда

Поскольку на ОДЗ уравнения (36) имеем то, применяя неравенство (37), получаем, что для любого такого х левая часть уравнения (36) не меньше 4. В то же время на ОДЗ уравнения Следовательно, уравнение (36) равносильно системе уравнений

Из последнего уравнения системы (38) находим его решения Подставляя эти значения в первое уравнение системы (38), получаем, что они являются его решениями. Следовательно, являются решениями исходного уравнения (36).

Ответ:

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru