Часто бывает полезно пользоваться следствиями из этих неравенств, например, а
при
причем
тогда и только тогда, когда
при
причем а
тогда и только тогда, когда
Пример 13. Решить уравнение
Решение. ОДЗ этого уравнения есть все действительные числа. Переписав левую часть уравнения (35) в виде
замечаем, что она не меньше четырех, как сумма двух взаимно обратных положительных величин, и только при
она равна четырем. В то же время правая часть при
также равна четырем, а для всех
меньше четырех. Следовательно,
есть единственное решение уравнения (35). Ответ:
Пример 14. Решить уравнение
Решение. Докажем, что для любых положительных чисел а и 6 справедливо неравенство
В самом деле, применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом сначала к числам
затем к числам а и
, имеем
откуда
Поскольку на ОДЗ уравнения (36) имеем
то, применяя неравенство (37), получаем, что для любого такого х левая часть уравнения (36) не меньше 4. В то же время на ОДЗ уравнения
Следовательно, уравнение (36) равносильно системе уравнений
Из последнего уравнения системы (38) находим его решения
Подставляя эти значения в первое уравнение системы (38), получаем, что они являются его решениями. Следовательно,
являются решениями исходного уравнения (36).
Ответ: