4.2.5. Использование числовых неравенств.

Иногда, применяя то или иное числовое неравенство к одной из частей уравнения (неравенства), его можно заменить равносильной ему системой уравнений. Примером такого неравенства является неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим — где а и — положительные числа, причем равенство здесь возможно лишь при

Часто бывает полезно пользоваться следствиями из этих неравенств, например, а при причем тогда и только тогда, когда при причем а тогда и только тогда, когда

Пример 13. Решить уравнение

Решение. ОДЗ этого уравнения есть все действительные числа. Переписав левую часть уравнения (35) в виде

замечаем, что она не меньше четырех, как сумма двух взаимно обратных положительных величин, и только при она равна четырем. В то же время правая часть при также равна четырем, а для всех меньше четырех. Следовательно, есть единственное решение уравнения (35). Ответ:

Пример 14. Решить уравнение

Решение. Докажем, что для любых положительных чисел а и 6 справедливо неравенство

В самом деле, применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом сначала к числам затем к числам а и , имеем

откуда

Поскольку на ОДЗ уравнения (36) имеем то, применяя неравенство (37), получаем, что для любого такого х левая часть уравнения (36) не меньше 4. В то же время на ОДЗ уравнения Следовательно, уравнение (36) равносильно системе уравнений

Из последнего уравнения системы (38) находим его решения Подставляя эти значения в первое уравнение системы (38), получаем, что они являются его решениями. Следовательно, являются решениями исходного уравнения (36).

Ответ: