1.4.2. Угадывание корня уравнения.

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Из внешнего вида этого уравнения очевидно, что есть его корень. Для нахождения остальных корней преобразуем многочлен

Так как многочлен не имеет корней, то исходное уравнение имеет единственный корень

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

где а — отличное от нуля число.

Решение. Так как

то отсюда заключаем, что есть один из корней исходного уравнения. Разделив многочлен на двучлен получим, что

т. е. остальные корни уравнения (9) совпадают со всеми корнями уравнения

Дискриминант квадратного уравнения (10) есть

а) D > 0 быть не может.

б) D = 0 лишь при и при

Итак, уравнение (10) не имеет корней при имеет единственный корень при и единственный корень при Добавляя еще корень находим все корни исходного уравнения.

Ответ: при два корня

при два корня ;

при один корень

Пример 5. Решить уравнение

где а и данные числа.

Решение. Из внешнего вида уравнения очевидно, что является корнем.

Для нахождения остальных корней уравнения перенесем все его члены в одну сторону и разложим полученный многочлен на множители. Тогда получим, что уравнение (11) можно записать в виде

Уравнение (12) равносильно совокупности уравнений

Первое уравнение совокупности (13) имеет единственный корень а второе уравнение имеет решения в зависимости от дискриминанта:

а) если то будет два корня,

б) если то будет один корень,

в) если то корней нет.

Отсюда легко находятся корни уравнения (11).

Ответ: при

при

при

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Легко заметить, что являются решениями этого уравнения. После раскрытия скобок это уравнение перепишется как квадратное. А это означает, что оно может иметь не более двух корней. Так как два корня этого уравнения найдены, то тем самым оно и решено.

Ответ: