1.4.3. Использование симметричности уравнения.

Иногда внешний вид уравнения — некоторая его симметричность — подсказывает способ решения уравнения.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Очевидно, что внешний вид уравнения подсказывает, что один из корней уравнения (14) есть Однако для нахождения остальных корней этого уравнения прием, предложенный в предыдущем пункте (разложение многочлена на множители), здесь мало поможет. Перепишем уравнение (14) в несколько ином виде.

Поскольку справедливы тождественные равенства

то уравнение (14) можно переписать так:

Теперь очевидно, что если корень уравнения (15), то также корень уравнения (15), поскольку

Покажем, что если есть корень уравнения (14), то также есть корень этого уравнения.

Действительно, так как

то отсюда и вытекает это утверждение.

Итак, если корень уравнения (14), то оно имеет еще корни

т. е. уравнение (14) имеет корни

Поскольку уравнение (14) есть алгебраическое уравнение шестой степени, то оно имеет не более шести корней. Таким образом, мы нашли все корни уравнения (14).

Ответ: