1.3.3. Возвратные уравнения.

Уравнения вида

где А — фиксированное число и называются возвратными уравнениями.

При уравнения (8) и (9) являются симметрическими уравнениями соответственно нечетной и четной степеней. Возвратное уравнение нечетной степени (8) всегда имеет корень поскольку это уравнение можно переписать в виде

и при выражения в каждой скобке обращаются в нуль. Выделив множитель А из каждой скобки, можно доказать, что уравнение (8) равносильно совокупности уравнений: уравнения и некоторого возвратного уравнения четной степени.

Для решения возвратного уравнения четной степени поступают следующим образом.

Поскольку не есть корень уравнения (9), то, разделив уравнение (9) на и сгруппировав члены, получим уравнение

Положим тогда имеем х

и т. д., и уравнение (10) степени относительно х запишем в виде алгебраического уравнения степени относительно и. Таким образом, мы от уравнения степени перешли к уравнению степени Если теперь удастся решить полученное уравнение степени то найдутся все корни уравнения (9). Пример 3. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Уравнение (11) является возвратным уравнением четвертой степени . Поскольку не является корнем этого уравнения, то оно равносильно уравнению

Последнее уравнение перепишем в виде

или в виде

Положив запишем уравнение (12) в виде

Корни этого уравнения есть . Следовательно, исходное уравнение (11) равносильно совокупности уравнений

Решения первого уравнения этой совокупности есть а решения второго

Следовательно, эти четыре корня и являются решениями исходного уравнения.

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Уравнение (13) является возвратным уравнением степени , так как его можно записать в виде

Так как по сказанному выше является его корнем, то, сгруппировав члены уравнения, перепишем его в виде

Применяя формулы разности пятых и третьих степеней и выделив множитель перепишем уравнение (14) в виде

Уравнение (15) равносильно совокупности уравнений

Уравнение запишем в виде

Уравнение (17) является возвратным уравнением четвертой степени В самом деле, уравнение (17) можно записать так:

Так как не является корнем уравнения (18), то, разделив его на и сгруппировав члены, получим уравнение

равносильное уравнению (18).

Положим тогда уравнение (19) перепишется в х

Решения последнего уравнения есть и Следовательно, уравнение (16) в свою очередь равносильно совокупности уравнений

Первое из этих уравнений решений не имеет. Решения второго уравнения есть

Итак, исходное уравнение (13) имеет три корня:

Ответ: