§ 3.3. Иррациональные уравнения

3.3.1. Уравнения вида ...

Уравнение

при некоторых условиях на числа и функцию можно решать так: возведя уравнение (1) в квадрат, получить уравнение

являющееся следствием уравнения (1). Если окажется, что где А — некоторое число, то, делая замену неизвестного перепишем уравнение (2) в виде

Если уравнение (3) имеет решения (включая случай то совокупность уравнений

является следствием уравнения (1) и, найдя ее корни, надо проверить, какие из них являются корнями уравнения (1). Если же уравнение (3) не имеет решений, то не имеет решений и уравнение (1).

Отметим, что при решении уравнения (1) можно не переходить к следствиям, а на каждом этапе следить за равносильностью переходов. Отметим еще, что иногда таким же способом может быть решено уравнение вида

Приведем примеры решения уравнений вида (1) и (4) переходом к следствию и равносильными переходами.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение

Решение. Возводя обе части уравнения (5) в квадрат, получаем уравнение

являющееся следствием исходного уравнения. Сделав замену неизвестного , уравнение (6) можно переписать в виде Решения этого квадратного уравнения есть . Поэтому совокупность уравнений

есть следствие уравнения (5). Уравнение решений не имеет. Решения уравнения есть Проверка показывает, что есть решение исходного уравнения, не есть его решение. Следовательно, исходное уравнение имеет один корень

Ответ: х = 8.

ПРИМЕР 2. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения состоит из х, удовлетворяющих одновременно условиям , т. е. ОДЗ есть промежуток Для х из ОДЗ, удовлетворяющих условию т. е. для х из промежутка левая часть уравнения (7) отрицательна, а правая неотрицательна, значит, ни одно из этих х решением уравнения быть не может.

Пусть Для таких х обе части уравнения (7) неотрицательны, и поэтому оно равносильно на этом множестве уравнению

Сделав замену неизвестной перепишем уравнение (8) в виде Решения этого уравнения есть Следовательно, уравнение (8) равносильно совокупности уравнений

и

Первое уравнение совокупности (9) решений не имеет. Второе уравнение для равносильно уравнению имеющему корни

Из этих чисел только попадает в промежуток Следовательно, только является корнем исходного уравнения.

Ответ:

3.3.2. У равнения вида ...

Уравнение

где данные числа, можно решать следующим образом.

1. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение

являющееся следствием уравнения (10).

2. Возведя обе части уравнения (11) в квадрат, получим уравнение

являющееся следствием уравнения (11).

3. Сделав замену неизвестной перепишем уравнение (12) в виде

Уравнение (13) есть квадратное уравнение относительно у. Если оно имеет два корня то получим совокупность уравнений

являющуюся следствием уравнения (10). Решив эти квадратные относительно х уравнения, надо проверить, являются ли найденные корни корнями уравнения (10). Если уравнение (13) имеет одно решение то получаем уравнение являющееся следствием уравнения (10). Решив это уравнение, надо проверить, являются ли найденные его корни корнями уравнения (10). Наконец, если уравнение (13) не имеет корней, то и уравнение (10) не имеет корней. Заметим, что аналогично решаются и уравнения вида

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Возведя обе части уравнения (15) в квадрат, получим уравнение

являющееся следствием уравнения (15). Если возведем уравнение (16) в квадрат, то получим уравнение

являющееся следствием уравнения (16). Сделав замену неизвестной уравнение (17) перепишем в виде Решения этого уравнения есть Следовательно, имеем совокупность уравнений

являющуюся следствием исходного уравнения (15). Первое уравнение из совокупности (18) имеет единственное решение Второе уравнение этой совокупности решений не имеет. Следовательно, совокупность (18) имеет единственное решение Проверка показывает, что есть решение исходного уравнения.

Ответ:

В некоторых случаях проверка найденных корней уравнения-следствия затруднительна, поэтому приведем еще способ решения уравнений типа (10), основанный на его равносильных преобразованиях.

1. Найдем ОДЗ уравнения (10). ОДЗ есть промежуток

2. На ОДЗ обе части уравнения (10) неотрицательны, поэтому после возведения в квадрат уравнения (10) получим уравнение

равносильное уравнению (10) на его ОДЗ.

3. На области уравнение (19) равносильно уравнению

Действительно, любое решение уравнения (19) есть решение уравнения (20), так как при возведении в квадрат корни уравнения не теряются. Любое решение уравнения (20) есть либо решение уравнения (19), либо решение уравнения

Перепишем уравнение (21) в виде

Так как то уравнение (22) не имеет решений, ибо на ОДЗ левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Следовательно, любое решение уравнения (20) есть решение уравнения (19).

Итак, уравнение (20) равносильно уравнению (10) на его ОДЗ.

4. Обозначив перепишем уравнение (20) в виде

Уравнение (23) квадратное относительно у. Если оно имеет два решения (не исключая случая то получаем совокупность уравнений

равносильную исходному уравнению (10) на его ОДЗ. Если уравнение (23) не имеет решений, то и уравнение (10) не имеет решений.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения есть промежуток На ОДЗ обе части уравнения (25) неотрицательны, поэтому после возведения в квадрат, получим уравнение

равносильное исходному на его ОДЗ. Уравнение

равносильно уравнению (26) на его ОДЗ. Перепишем уравнение (27) в виде

Сделав замену неизвестной перепишем уравнение (28) в виде

Решения этого уравнения есть Следовательно, имеем совокупность уравнений

и

равносильную исходному уравнению на его ОДЗ.

Первое уравнение совокупности (29) решений не имеет, второе уравнение имеет два корня:

Оба эти корня входят в ОДЗ исходного уравнения и поэтому являются его корнями.

Ответ:

Замечание. Уравнение вида заменой неизвестной сводится к уравнению вида (10) или вида (14).