4.1.2. Использование ограниченности функций.

При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.

Например, если для всех х из некоторого множества справедливы неравенства где А — некоторое число, то на множестве уравнение и неравенство решений не имеют.

Заметим, что роль числа А часто играет нуль, в этом случае говорят о сохранении знака функций на множестве

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Для любого действительного числа х имеем Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше двух, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Очевидно, что являются решениями уравнения (9). Для нахождения других решений уравнения (9) в силу нечетности функции достаточно найти его решения в области поскольку если является его решением, то и также является его решением.

Разобьем множество на два промежутка:

Перепишем уравнение (9) в виде На промежутке (0; 1) функция принимает только отрицательные значения, поскольку а функция только положительные. Следовательно, на этом промежутке уравнение (9) не имеет решений.

Пусть х принадлежит промежутку Для каждого из таких значений х функция принимает

положительные значения, функция принимает значения разных знаков, причем на промежутке (1; 2] функция неположительна. Следовательно, на промежутке (1; 2] уравнение (9) решений не имеет.

Если же то а это означает, что и на промежутке уравнение (9) также не имеет решений.

Итак, и только они являются решениями исходного уравнения.

Ответ:

Пример 10. Решить неравенство

РЕШЕНИЕ. ОДЗ неравенства (10) есть все действительные х, кроме Разобьем ОДЗ на три множества: и рассмотрим неравенство (10) на каждом из этих промежутков.

Пусть Для каждого из этих х имеем Следовательно, все эти х являются решениями неравенства (10).

Пусть Для каждого из этих х имеем

1. Следовательно, ни одно из этих не является решением неравенства (10).

Пусть Для каждого из этих х имеем Следовательно, все эти являются решениями неравенства (10).

Ответ:

Пример 11. Решить уравнение

Решение. Обозначим через Из определения абсолютной величины следует, что при при при Поэтому, если то уравнение (11) можно переписать в виде е. в виде

Это уравнение имеет решения Из этих значений х условию удовлетворяют только Если то уравнение (11) можно переписать в виде в виде Это уравнение имеет решения Из этих значений х условию удовлетворяют только

Рассмотрим х из промежутка На этом промежутке уравнение (11) можно переписать в виде , т. е. в виде

Ясно, что есть решение уравнения (12), а значит, и исходного уравнения. Докажем, что других решений уравнение (12) на промежутке не имеет.

Для уравнение (12) равносильно уравнению

Для любого значения функция принимает только положительные значения, поэтому уравнение (12) не имеет решений на множестве

ОТВЕТ:

Пример 12. Решить уравнение

Решение. Пусть есть решение уравнения (13), тогда справедливы равенство

и неравенства Из справедливости неравенств получаем, что левая часть равенства (14) имеет

тот же знак, что и тот же знак, что и а правая часть — тот же знак, что и Но так как удовлетворяют равенству (14), то они имеют одинаковые знаки.

Перепишем равенство (14) в виде

Применяя формулу сокращенного умножения

перепишем равенство (15) в виде

где

Так как и имеют одинаковые знаки, то Поэтому из равенства (16) следует, что для любого решения уравнения (13) справедливо равенство

Таким образом, любое решение уравнения (13) удовлетворяет уравнению

Очевидно, что любое решение уравнения (17) есть решение уравнения (13). Следовательно, уравнение (13) равносильно уравнению (17). Решения уравнения (17) есть они и только они есть решения уравнения (13).

Ответ:

Замечание. Точно так же, как в примере 12, можно доказать, что уравнение

где любые натуральные числа, равносильно уравнению и затем решать это более простое уравнение.