Глава I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА. ПРИМЕРЫ

Рассмотрим совокупность направленных отрезков пространства, исходящих из некоторой точки О. По правилу параллелограмма для любых двух таких отрезков или векторов найдется вектор Кроме этой операции сложения векторов, хорошо известна также операция умножения вектора а на вещественное число Часто эту совокупность векторов с указанными операциями называют векторным пространством. В дальнейшем оно обозначается

Аксиоматизируя свойства операций над векторами из приходим к общему понятию векторного, или линейного пространства.

Определение 1. Пусть некоторое числовое поле, любое непустое множество элементов и

а) в R определена операция сложения (т. е. указан закон, по которому для любых двух элементов находится вполне определенный элемент называемый их суммой и обозначаемый через а ,

б) определена операция умножения элементов из на числа из (т. е. указан закон, по которому для любого элемента и любого числа находится вполне определенный элемент в называемый произведением числа X на элемент а и обозначаемый через или

Множество называется линейным (или векторным) пространством над полем а его элементы — векторами, если указанные операции (сложения векторов и умножения вектора на число) удовлетворяют аксиомам:

I. (коммутативность сложения).

2°. (ассоциативность сложения).

3°. Существует вектор 0, такой, что для любого Вектор 0 называется нулевым или просто нулем пространства

4°. Для каждого вектора существует вектор —а, такой, что а Вектор —а называется противоположным для а.

II. 5°. , где 1 — единица поля

6°. (ассоциативность умножения на число поля

III. (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел поля .

8°. (дистрибутивность умножения относительно сложения в множестве

Если поле коэффициентов есть поле всех комплексных чисел, то линейное пространство называется комплексным линейным пространством-, если есть поле всех вещественных чисел, то — вещественным линейным пространством; если произвольное поле, то линейным пространством над полем

Как правило, в дальнейшем всюду в качестве основного поля будет предполагаться поле вещественных чисел Отступление от этого правила будет оговариваться.

Как и при определении группы, в определении линейного пространства ничего не говорится о технике выполнения операций: в любом конкретном случае, как только выполняемые операции будут удовлетворять аксиомам 1° — 8°, эти операции приобретают право называться сложением и умножением на число, а совокупность элементов с такими операциями получает право называться линейным пространством.

Примеры линейных пространств. 1. Пространство Элементы этого пространства — направленные геометрические отрезки обычного пространства, имеющие общее начало в фиксированной точке О. Сложение векторов выполняется по правилу параллелограмма. При умножении вектора на вещественное число X длина вектора умножается на число а направление вектора при остается неизменным, при меняется на противоположное. Выполнение аксиом легко проверяется.

Совокупность векторов из расположенных в некоторой плоскости (проходящей через точку О), образует линейное пространство, обозначаемое Совокупность векторов из принадлежащих некоторой прямой (проходящей через точку О), образует линейное пространство, обозначаемое через

2. Пространство Элемент вектор этого так называемого арифметического линейного пространства — любая упорядоченная совокупность вещественных чисел (n — фиксированное натуральное число):

Числа называются компонентами вектора Суммой векторов

называется вектор

Произведением вектора х на вещественное число X называется вектор

Равенство векторов означает равенство соответствующих компонент: Выполнимость аксиом легко проверяется, причем .

3. Пространство Элемент этого линейного пространства — любая вещественная функция определенная и непрерывная на отрезке Операции сложения функций и умножения функции на вещественное число известны из математического анализа, при этом, очевидно, условия выполняются.

4. Пространство решений однородной системы линейных уравнений. Пусть

— однородная система линейных уравнений с неизвестными и с коэффициентами из поля Введем обозначения матриц:

0 — матрица-столбец высоты Тогда система (1) в матричной форме запишется так:

Система (1) всегда совместна. Кроме того, если два решения системы (1), то , где X — любое число, тоже решения системы (1), так как

Аксиомы выполняются. Таким образом, совокупность решений однородной системы линейных уравнений составляет линейное пространство. Это пространство, очевидно, содержится в пространстве

5. Пространство многочленов. Множество всех многочленов вида

с комплексными коэффициентами при фиксированном , очевидно, является комплексным линейным пространством относительно обычных операций сложения многочленов и

умножения многочлена на число. Это пространство мы будем называть комплексным пространством многочленов степени (хотя содержащийся в нем нуль-многочлен не имеет степени). Заметим, что совокупность многочленов данной степени линейного пространства не образует: сумма двух многочленов степени может оказаться многочленом более низкой степени.

6. Пространство квадратных матриц. Векторы этого пространства — квадратные матрицы одного и того же порядка с вещественными элементами. Основное поле — поле вещественных чисел. Сложение матриц и умножение их на числа выполняются по известным правилам. Аксиомы выполняются. Нулевым элементом 0 здесь будет матрица, все элементы которой нули.

7. Пространство векторы которого положительные вещественные числа, основное поле — поле вещественных чисел. Сложенней умножение чисел а, обозначаем обычными знаками «Сложение» 0 векторов по определению есть обычное умножение вещественных чисел:

«Умножение» 0 числа а на вектор по определению есть возвышение числа а в степень а:

Проверьте выполнимость аксиом Для примера убедимся в выполнимости аксиомы 7°. В данном случае она запишется так:

По определению операций имеем:

откуда и следует 7°.

8. Основное поле состоит из двух элементов, обозначаемых 0 и 1. Операции сложения и умножения в заданы таблицами:

(см. скан)

Элементами пространства являются наборы длины элементов из Операции сложения векторов из и умножения их на элементы из производятся покомпонентно (как и в Получаем линейное пространство над (нечисловым) полем в отличие от

ранее рассмотренных пространств это пространство конечно и состоит из векторов (поскольку каждая из компонент вектора принимает два значения независимо от других компонент).

Упражнения

(см. скан)