Глава IV. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

§ 32. ПОНЯТИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

Определение 36. Вещественной квадратичной формой от переменных называется однородный многочлен второй степени с вещественными коэффициентами от переменных

Пример. есть квадратичная форма от переменных

Согласно определению каждый член квадратичной формы содержит или квадрат одного из переменных или произведение двух разных переменных.

Для квадратичных форм используется специальная запись. Пусть в квадратичной форме уже выполнено приведение подобных членов. Тогда коэффициент при обозначают через а коэффициент при где через и пишут

так что

С учетом этого соглашения квадратичная форма запишется в общем виде следующим образом:

Очевидно, что всякая квадратичная форма от переменных может быть единственным образом приведена к такому виду. Квадратичной форме, записанной в виде (2), соответствует матрица

которая называется матрицей квадратичной формы Согласно условию (1) матрица квадратичной формы есть матрица симметрическая, так что Очевидно, что каждой симметрической матрице порядка соответствует вполне определенная квадратичная форма от переменных.

Пример. Для квадратичной формы

запись (2) будет иметь вид:

Матрицей данной квадратичной формы является

Ранг матрицы А квадратичной формы называется рангом самой квадратичной формы Если ранг то матрица А невырожденная; квадратичная форма с такой матрицей называется также невырожденной.

Пользуясь правилом умножения матриц, квадратичную форму (2) можно записать в матричном виде:

Итак,

где

Упражнения

(см. скан)