Глава III. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

§ 22. ПОНЯТИЕ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА. ПРИМЕРЫ

Определение 25. Евклидовым пространством размерности называется -мерное линейное пространство над полем вещественных чисел, в котором каждой паре векторов поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое через и называемое скалярным произведением этих векторов, причем выполнены аксиомы:

13°. где а — любое вещественное число.

14°. для любого вектора

Евклидово пространство размерности обозначается через Из аксиом следует (докажите):

Примеры. 1. Исходное линейное пространство V 3. Скалярное произведение векторов из V 3 определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними:

Аксиомы выполняются, следовательно, имеем евклидово пространство, для которого сохраним прежнее обозначение

2. Исходное линейное пространство Скалярное произведение векторов

определим формулой

Аксиомы легко проверяются, в частности, аксиома 14° выполняется, так как из (1) следует

В дальнейшем пространство с указанным скалярным произведением будем обозначать через и называть арифметическим евклидовым пространством.

Этот пример показывает, что -мерные евклидовы пространства существуют для любого

В том же пространстве скалярное произведение векторов можно задавать формулой

Можно проверить, что аксиомы будут выполнены и при этом определении скалярного произведения. Таким образом, одно и то же линейное пространство можно различными способами превратить в евклидово, по-разному определяя скалярное произведение. Формула

однако, не может быть принята за определение скалярного произведения в так как нарушается аксиома для вектора по формуле будет

3. Этот пример будет более общим, чем предыдущий. Исходное линейное пространство то же, что и в примере 2. Для определения скалярного произведения возьмем некоторую вещественную матрицу

Выясним, какова должна быть матрица А, чтобы формула

определяла скалярное произведение векторов

Аксиомы 12° и 13° выполняются для любой матрицы А, в чем можно легко убедиться. Чтобы выполнялась аксиома 11°, необходимо и достаточно, чтобы

т. е. чтобы матрица А была симметрической. Аксиома 14° требует, чтобы выражение

было положительно для любых значений одновременно не равных нулю, т. е., как говорят, чтобы квадратичная форма (4) с матрицей А была положительно определенной.

Если в качестве матрицы А взять единичную матрицу то формула (2) принимает вид (1) и мы получаем евклидово пространство Если же

то формула (2) принимает вид

4. Исходное линейное пространство — пространство функций, непрерывных на отрезке (пространство . Скалярное произведение функций определим как интеграл от их произведения:

Аксиомы выполнены. (Докажите.) Полученное евклидово пространство бесконечномерно.

5. Исходное пространство — пространство многочленов от степени Скалярное произведение двух многочленов определим так же, как и в примере 4. Получим пример -мерного евклидова пространства.

Упражнение

(см. скан)