§ 39. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид:

Сумма первых шести (старших) членов левой части уравнения (1) дает квадратичную форму с действительными коэффициентами:

С помощью некоторого ортогонального преобразования переменных форму приведем к каноническому виду:

и уравнение поверхности в результате этого преобразования примет вид:

Если не равны нулю (ранг квадратичной формы равен 3), то уравнение (2) преобразуется к виду:

где

В результате имеем уравнение центральной поверхности

полученное из (2) параллельным переносом осей координат:

По уравнению (4) легко определяется тип поверхности.

Если то из уравнения (2) в результате параллельного переноса получаем уравнение нецентральной поверхности:

Если то в уравнении (2) объединим члены

и после параллельного переноса получим уравнение вида:

Выполним поворот координатной плоскости сохраняя ось на угол а, определяемый равенствами:

где , т. е. выполним ортогональное преобразование:

После этого уравнение (6) поверхности принимает вид:

В итоге приходим к следующему выводу о порядке приведения общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду:

1. Сначала находим ортогональное преобразование координат, которое приводит квадратичную форму (1а) старших членов уравнения (1) к каноническому виду (16). Выполнив замену переменных в уравнении (1), получаем уравнение поверхности в форме (2).

2. После этого выполняем параллельный перенос осей координат. Тогда получим уравнение поверхности в форме (4) или в форме (5). Кроме параллельного переноса, иногда придется выполнить еще одно ортогональное преобразование (поворот одной координатной плоскости внутри себя) — и тогда получим уравнение нецентральной поверхности в форме (7).

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)