§ 39. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид:
Сумма первых шести (старших) членов левой части уравнения (1) дает квадратичную форму с действительными коэффициентами:
С помощью некоторого ортогонального преобразования переменных
форму
приведем к каноническому виду:
и уравнение поверхности в результате этого преобразования примет вид:
Если
не равны нулю (ранг
квадратичной формы равен 3), то уравнение (2) преобразуется к виду:
где
В результате имеем уравнение центральной поверхности
полученное из (2) параллельным переносом осей координат:
По уравнению (4) легко определяется тип поверхности.
Если
то из уравнения (2) в результате параллельного переноса получаем уравнение нецентральной поверхности:
Если
то в уравнении (2) объединим члены
и после параллельного переноса получим уравнение вида:
Выполним поворот координатной плоскости
сохраняя ось
на угол а, определяемый равенствами:
где
, т. е. выполним ортогональное преобразование:
После этого уравнение (6) поверхности принимает вид:
В итоге приходим к следующему выводу о порядке приведения общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду:
1. Сначала находим ортогональное преобразование координат, которое приводит квадратичную форму (1а) старших членов уравнения (1) к каноническому виду (16). Выполнив замену переменных в уравнении (1), получаем уравнение поверхности в форме (2).
2. После этого выполняем параллельный перенос осей координат. Тогда получим уравнение поверхности в форме (4) или в форме (5). Кроме параллельного переноса, иногда придется выполнить еще одно ортогональное преобразование (поворот одной координатной плоскости внутри себя) — и тогда получим уравнение нецентральной поверхности в форме (7).
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
(см. скан)