§ 13. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

1. Исходное пространство — пространство векторов, исходящих из фиксированной точки О. Преобразование в нем — ортогональное проектирование векторов на некоторую плоскость , проходящую через точку О (черт. 2).

Как известно, проекция суммы векторов равна сумме их проекций, следовательно, выполняется условие определения 13:

Черт. 2

Черт. 3

Далее, если вектор умножить на вещественное число X, то его проекция также умножится на X, т. е. условие 2° тоже выполняется. Операция ортогонального проектирования будет линейным преобразованием пространства

Найдем матрицу преобразования взяв за базис единичные попарно перпендикулярные векторы по осям координат

Тогда имеем (см. черт. 3):

Таким образом, матрицей преобразования является

Возьмем за базис векторы

Тогда (см. черт. 4)

Матрицей того преобразования в новом базисе является

Черт. 4

Отсюда видно, что изменение базиса вызвало изменение матрицы преобразования.

2. Исходное пространство есть n-мерное пространство многочленов степени с вещественными коэффициентами. Оператор в пространстве дифференцирование:

где производная многочлена

Преобразование линейно, так как

Найдем матрицу преобразования в базисе:

Имеем:

Значит, матрицей преобразования в указанном базисе будет:

3. Исходное пространство Функции поставим в соответствие функцию

На основании теоремы о существовании определенного интеграла от непрерывной функции и теоремы о непрерывности функции

(определенного интеграла от непрерывной функции при переменном верхнем пределе) получаем, что Линейность этого преобразования следует из свойств определенного интеграла.

Заметим, что оператор дифференцирования не будет линейным преобразованием в пространстве (почему?).

4. Преобразование переводящее вектор в вектор не является линейным, поскольку

Упражнения

(см. скан)