§ 13. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
1. Исходное пространство — пространство векторов, исходящих из фиксированной точки О. Преобразование 
в нем — ортогональное проектирование векторов на некоторую плоскость 
, проходящую через точку О (черт. 2).
Как известно, проекция суммы векторов равна сумме их проекций, следовательно, выполняется условие 
определения 13:
Черт. 2
Черт. 3
Далее, если вектор 
умножить на вещественное число X, то его проекция также умножится на X, т. е. 
условие 2° тоже выполняется. Операция ортогонального проектирования будет линейным преобразованием 
пространства 
Найдем матрицу преобразования 
взяв за базис единичные попарно перпендикулярные векторы 
по осям координат 
Тогда имеем (см. черт. 3):
Таким образом, матрицей преобразования является
Возьмем за базис векторы 
Тогда (см. черт. 4)
Матрицей того преобразования в новом базисе является
Черт. 4
Отсюда видно, что изменение базиса вызвало изменение матрицы преобразования.
2. Исходное пространство 
есть n-мерное пространство многочленов 
степени 
с вещественными коэффициентами. Оператор 
в пространстве 
дифференцирование:
где 
производная многочлена 
Преобразование 
линейно, так как
Найдем матрицу преобразования 
в базисе:
Имеем:
Значит, матрицей преобразования 
в указанном базисе будет:
3. Исходное пространство 
Функции 
поставим в соответствие функцию
На основании теоремы о существовании определенного интеграла от непрерывной функции и теоремы о непрерывности функции
(определенного интеграла от непрерывной функции при переменном верхнем пределе) получаем, что 
Линейность этого преобразования следует из свойств определенного интеграла.
Заметим, что оператор дифференцирования не будет линейным преобразованием в пространстве 
(почему?).
4. Преобразование 
переводящее вектор 
в вектор 
не является линейным, поскольку
Упражнения
(см. скан)
