Главная > Учебное пособие по линейной алгебре
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 13. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

1. Исходное пространство — пространство векторов, исходящих из фиксированной точки О. Преобразование в нем — ортогональное проектирование векторов на некоторую плоскость , проходящую через точку О (черт. 2).

Как известно, проекция суммы векторов равна сумме их проекций, следовательно, выполняется условие определения 13:

Черт. 2

Черт. 3

Далее, если вектор умножить на вещественное число X, то его проекция также умножится на X, т. е. условие 2° тоже выполняется. Операция ортогонального проектирования будет линейным преобразованием пространства

Найдем матрицу преобразования взяв за базис единичные попарно перпендикулярные векторы по осям координат

Тогда имеем (см. черт. 3):

Таким образом, матрицей преобразования является

Возьмем за базис векторы

Тогда (см. черт. 4)

Матрицей того преобразования в новом базисе является

Черт. 4

Отсюда видно, что изменение базиса вызвало изменение матрицы преобразования.

2. Исходное пространство есть n-мерное пространство многочленов степени с вещественными коэффициентами. Оператор в пространстве дифференцирование:

где производная многочлена

Преобразование линейно, так как

Найдем матрицу преобразования в базисе:

Имеем:

Значит, матрицей преобразования в указанном базисе будет:

3. Исходное пространство Функции поставим в соответствие функцию

На основании теоремы о существовании определенного интеграла от непрерывной функции и теоремы о непрерывности функции

(определенного интеграла от непрерывной функции при переменном верхнем пределе) получаем, что Линейность этого преобразования следует из свойств определенного интеграла.

Заметим, что оператор дифференцирования не будет линейным преобразованием в пространстве (почему?).

4. Преобразование переводящее вектор в вектор не является линейным, поскольку

Упражнения

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru