§ 33. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ПРИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

Пусть в пространстве задано линейное преобразование матрица которого в некотором фиксированном базисе есть

Под действием преобразования каждый вектор у с координатами в данном базисе переходит в другой вектор координатами При этом согласно § 12 имеем:

или, в матричной записи,

где матрицы-столбцы

Имея в виду формулы (1), говорят, что преобразование осуществляет линейное преобразование переменных с матрицей (переменные преобразуются в переменные по формулам

Пусть квадратичная форма. Если в выражении для заменить переменные их выражениями через по формулам (1), то получим некоторую квадратичную форму Выясним, как связаны матрицы квадратичных форм другими словами, как изменяется матрица квадратичной формы если переменные подвергаются линейному преобразованию (1).

Теорема 35. Если в квадратичной форме с матрицей А выполнено линейное преобразование переменных с матрицей то полученная квадратичная форма будет иметь матрицу где матрица получается транспонированием Доказательство. Пусть

Тогда

где матрица

симметрическая, так как

Итак, в новых переменных получили квадратичную форму

с матрицей

Пример. Квадратичная форма

имеет матрицу

Выполним преобразование переменных

матрицей которого является

Тогда новая квадратичная форма будет иметь матрицу

Таким образом, в результате замены переменных получаем квадратичную форму

Если для переменных выполнить другое линейное преобразование, например,

то получим квадратичную форму

Теорема 36. Ранг квадратичной формы не меняется в результате выполнения невырожденного линейного преобразования переменных.

Доказательство. Согласно теореме 35

где А — матрица данной квадратичной формы матрица линейного преобразования переменных, В — матрица полученной квадратичной формы По условию матрица невырожденная. Как известно, в результате умножения произвольной матрицы А справа или слева на невырожденную матрицу получается матрица, ранг которой равен рангу матрицы А. Отсюда получаем, что

ранг ранг А или ранг ранг Определение 37. Квадратичная форма вида

не содержащая членов с произведениями различных переменных (т. е. имеющая диагональную матрицу), называется квадратичной формой канонического (или диагонального) вида.

Теорема 37. Число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде

квадратичной формы равно ее рангу.

В самом деле, пусть квадратичная форма от переменных с матрицей А невырожденным линейным преобразованием уже приведена к каноническому виду

где новые переменные. Матрицей В квадратичной формы канонического вида является

По теореме 36 ранг ранг ранг В. А так как матрица В диагональна, то ее ранг равен числу ее отличных от нуля диагональных элементов. Теорема доказана.

Если ранг и отличные от нуля элементов матрицы В окажутся первыми, то канонический вид квадратичной формы будет таким: