§ 10. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть дана однородная система линейных уравнений

с произвольными вещественными коэффициентами. Мы знаем (§ 1, пример 4), что совокупность всех решений системы (1) образует линейное пространство, являющееся подпространством в Решим вопрос о размерности этого подпространства

Пусть А — матрица коэффициентов системы (1). Предположим, что ранг матрицы А равен и минор порядка, находящийся в левом верхнем углу матрицы отличен от нуля. Тогда система

(1) эквивалентна ее подсистеме из первых уравнений:

Для отыскания решений системы (2), а следовательно, и системы (1) неизвестным системы (2) придаем произвольные значения и затем (например, по формулам Крамера) находим соответствующие значения для первых неизвестных:

где определитель системы (2) (т. е. отличный от нуля минор порядка ).

Таким образом, произвольному набору чисел , т. е. вектору пространства мы сопоставили вектор пространства решений системы (2) или (1). А так как для любых фиксированных значений неизвестных система уравнений (2) имеет единственное решение относительно неизвестных то

является взаимно однозначным соответствием между пространствами соответствие является изоморфизмом. В самом деле, из формул (3) видно, что если умножить на , то и соответствующие значения умножаются на К (так как общий множитель элементов столбца определителя можно вынести за знак определителя). Значит, если имеет место (4), то

Пусть, кроме (4), имеет место также

Подставив в (3) вместо соответственно и воспользовавшись свойством определителя (позволяющим разложить его в сумму двух определителей, если в виде суммы представлен каждый элемент одного столбца), получим:

Таким образом, произведению вектора из на число К отвечает произведение соответствующего вектора из на X и сумме векторов из отвечает сумма соответствующих векторов из Это и означает, что рассматриваемое соответствие — изоморфизм. Отсюда следует, что

Определение 10. Любой базис пространства т. е. любая совокупность линейно независимых решений однородной линейной системы (1), называется фундаментальной системой решений системы (1).

Так как при изоморфизме двух пространств базис одного переходит в базис другого (§ 6), то для построения фундаментальной системы решений можно воспользоваться любым базисом пространства Если в качестве последнего взять стандартный базис

то получим фундаментальную систему решений, которая называется нормальной.

Обозначим через фундаментальную систему решений системы (1). По определению базиса для любого решения х системы (1) будет иметь место равенство:

где - некоторые числа. Формула (5) содержит произвольных параметров и заключает в себе любое решение системы (1), поэтому можно сказать, что формула (5) дает общее решение системы (1).

Пример. Найти нормальную фундаментальную систему решений для системы уравнений:

Очевидно, что ранг матрицы А коэффициентов системы меньше 5, а потому система имеет бесконечное множество решений. Произведя необходимые вычисления, получим ранг фундаментальная система состоит из решений. Общее решение системы (6) имеет вид:

Отсюда находим нормальную фундаментальную систему решений:

О рассмотренном выше подпространстве решений однородной системы уравнений (1) говорят, что оно задается системой (1). Оказывается, что такой способ задания подпространств пространства является универсальным, а именно:

Всякое подпространство пространства может быть задано некоторой системой линейных однородных уравнений.

В самом деле, нулевое подпространство очевидно, задается однородной системой уравнений с неизвестными с определителем Все пространство задается, например, уравнением

(которому удовлетворяет любой набор из чисел).

Пусть теперь подпространство в где Выберем какой-нибудь базис пространства

Так как система векторов линейно независима, то ранг матрицы коэффициентов однородной системы уравнений

равен а потому ее фундаментальная система решений состоит из векторов.

Если

— фундаментальная система решений системы уравнений (7), то имеют место равенства

для всех Это означает, что каждый из векторов является решением однородной системы уравнений:

А так как ранг системы уравнений (8) равен то по определению 10 имеем: совокупность векторов является фундаментальной системой решений системы уравнений (8), т. е. базисом пространства всех решений системы (8). Отсюда следует, что пространство задается однородной системой уравнений (8).

Пример. Найти однородную систему линейных уравнений, задающую в Тк подпространство порожденное векторами

Решение. 1. Находим базис подпространства Например, базисом является система векторов Находим фундаментальную систему решений системы уравнений:

Так как ранг этой системы уравнений равен 3, то фундаментальная система ее решений состоит из одного вектора, например (1, —1, —1,1). Следовательно, искомой системой уравнений может служить (система, состоящая из одного уравнения)

Упражнения

(см. скан)