§ 27. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

Пусть два базиса евклидова пространства и

— матрица перехода от базиса к базису , т. е.

Как мы видели в § 7, матрицей перехода от одного базиса к другому может служить любая невырожденная матрица. В евклидовых пространствах особую роль играют ортонормированные базисы, поэтому естественно поставить вопрос: какими свойствами обладает матрица в случае, когда базисы ортонормированы? В этом случае для векторов по теореме 25 имеем (для ):

Равенства (2) означают, что каждый столбец матрицы нормирован, и любые два столбца ортогональны.

Определение 33. Матрица, у которой каждый столбец нормирован, а любые два различных столбца ортогональны, называется ортогональной.

Итак, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортогональна.

Примеры ортогональных матриц:

Если матрица ортогональна, транспонированная к ней матрица, то

Итак, если матрица ортогональна, то

Отсюда следует, что матрица невырожденная и что

Следовательно, вместе с (3) имеет место также соотношение

Из равенства (5) видно, что и строки матрицы также ортонормированы.

Таким образом, если столбцы матрицы ортонормированы, то ортонормированы и ее строки.

Так как то из (5) получаем, что откуда т. е. определитель ортогональной матрицы равен 1 или —1 (обратное, вообще говоря, не будет верно. Приведите пример).

Пусть теперь произвольная ортогональная матрица и ортонормированный базис пространства Тогда векторы определяемые равенствами (1), будут ортогональны и нормированы — это следует из равенств (2). Таким образом, всякая ортогональная матрица есть матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису.

Примеры. 1. Показать, что при всякая ортогональная матрица с определителем, равным имеет вид:

т. е. является матрицей преобразования поворота на угол а. Решение. Пусть

— ортогональная матрица с определителем Тогда из условий имеем:

Отсюда следует, что Матрица таким образом, имеет вид:

где по условию Полагая получаем:

2. Ясно, что целочисленная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда в каждой строке и в каждом столбце

имеется только один отличный от нуля элемент, равный или

Доказать, что всего имеется целочисленных ортогональных матриц порядка

Решение. Очевидно, первую строку искомой матрицы можно выбрать способами. С каждым выбором числа или — 1 в первой строке согласуется любой из выборов числа или — 1 во второй строке. Всего получаем выборов числа в первых двух строках. С каждым из них согласуется любой из выборов числа или — 1 в третьей строке и т. д. Всего получаем, таким образом,

искомых матриц.

Можно выделить целочисленные ортогональные матрицы, в которых в качестве ненулевого элемента будет только Общее число таких матриц порядка равно Эти матрицы называют иногда подстановочными. Такое название объясняется тем, что каждая из них осуществляет некоторую подстановку. Например,

т. е. взятая нами матрица осуществляет подстановку

3. Показать, что множество всех ортогональных матриц порядка образует группу относительно операции умножения матриц.

Решение. Пусть матрицы ортогональны. Значит, Тогда Следовательно, произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

Кроме того, матрица обратная ортогональной матрице также ортогональна.

Упражнения

(см. скан)