Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 27. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫПусть
— матрица перехода от базиса
Как мы видели в § 7, матрицей перехода от одного базиса к другому может служить любая невырожденная матрица. В евклидовых пространствах особую роль играют ортонормированные базисы, поэтому естественно поставить вопрос: какими свойствами обладает матрица
Равенства (2) означают, что каждый столбец матрицы Определение 33. Матрица, у которой каждый столбец нормирован, а любые два различных столбца ортогональны, называется ортогональной. Итак, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортогональна. Примеры ортогональных матриц:
Если матрица
Итак, если матрица
Отсюда следует, что матрица
Следовательно, вместе с (3) имеет место также соотношение
Из равенства (5) видно, что и строки матрицы Таким образом, если столбцы матрицы ортонормированы, то ортонормированы и ее строки. Так как Пусть теперь Примеры. 1. Показать, что при
т. е. является матрицей преобразования поворота на угол а. Решение. Пусть
— ортогональная матрица с определителем
Отсюда следует, что
где по условию
2. Ясно, что целочисленная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда в каждой строке и в каждом столбце имеется только один отличный от нуля элемент, равный Доказать, что всего имеется Решение. Очевидно, первую строку искомой матрицы можно выбрать
искомых матриц. Можно выделить целочисленные ортогональные матрицы, в которых в качестве ненулевого элемента будет только
т. е. взятая нами матрица осуществляет подстановку
3. Показать, что множество всех ортогональных матриц порядка Решение. Пусть матрицы Кроме того, Упражнения (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|