§ 4. БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА

Определение 4. Базисом или координатной системой линейного пространства над числовым полем называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов этого пространства, что для всякого вектора существует линейное представление

где

Таким образом, по определению к базису предъявляются два требования: первое — векторы, входящие в базис, линейно независимы; второе — каждый вектор линейно выражается через векторы базиса. (Покажите независимость этих требований друг от друга.) Если базис, то коэффициенты представления (1) находятся однозначно. В самом деле, если бы для некоторого вектора можно было бы написать, кроме (1), другое представление

то, произведя почленное вычитание, получили бы равенство

Так как векторы линейно независимы по определению базиса, то отсюда получаем, что

Числа в представлении (1) называют координатами, а набор чисел

— координатной строкой вектора х в базисе Иногда этот набор чисел мы будем записывать в виде

и называть координатным столбцом вектора

Примеры. 1. В пространстве в качестве базиса можно взять любые три вектора, не лежащие в одной плоскости. (Докажите!)

2. В пространстве базис составляют, например, векторы .

В самом деле, указанные векторы линейно независимы; кроме того, для любого вектора имеет место

Из (2) следует, что компоненты вектора являются его координатами в указанном базисе. Этот базис называют иногда стандартным. В пространстве можно указать бесконечное множество базисов. Например, базисом будут векторы:

где — произвольные, отличные от нуля вещественные числа.

3. R — линейное пространство многочленов степени . Одним из базисов этого пространства является: Линейная независимость этих векторов отмечалась раньше (§ 3); координатами многочлена в этом базисе будут его коэффициенты

Другой базис: где а — произвольный многочлен нулевой степени, т. е. любое, не равное нулю число. Так как по формуле Тейлора

то в указанном базисе координатами многочлена будут числа:

линейное пространство вещественных квадратных матриц порядка Базис этого пространства составляют матриц есть матрица, в которой элемент а остальные элементы нули. Линейная независимость указанных матриц легко проверяется на основе определения 3. Кроме того, для любой матрицы А порядка

5. В пространстве нет базиса в смысле определения 4. В самом деле, для любого натурального функции линейно независимы. Отсюда и из теоремы 1 следует, что в нет базиса.

Теорема 2. Если пространство имеет базис из векторов, то всякая линейно независимая система из его векторов также является базисом.

Доказательство. Пусть базис пространства и

— любая линейно независимая система его векторов. Эта система, будучи линейно независимой, удовлетворяет первому требованию определения базиса. Проверим второе требование. Пусть произвольный вектор из Система векторов

линейно зависима, так как в противном случае по теореме 1 было бы Отсюда по свойству 2 линейной зависимости имеем: вектор х линейно выражается через векторы Теорема доказана.

Теорема 3. Если — два базиса некоторого линейного пространства то т. е. все базисы линейного пространства состоят из одинакового числа векторов.

Справедливость этого утверждения следует из теоремы 1. Так как базис, то эта система линейно независима; так как базис, то каждый вектор линейно выражается через векторы Тогда по теореме 1 получаем Вторичное применение теоремы 1 дает Отсюда

Пусть базис линейного пространства Если

то

Таким образом, при фиксированном базисе сложение векторов пространства и умножение вектора на число X сводится к соответствующим операциям над координатами, т. е. линейное пространство, имеющее базис, арифметизируется.

Теорема 4. Система векторов

пространства имеющего базис, линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система координатных столбцов векторов (3) в каком-либо базисе пространства

Доказательство. Пусть какой-нибудь базис пространства Тогда имеют место линейные представления векторов (3):

Для решения вопроса о линейной зависимости системы векторов (3) нам нужно решить векторное уравнение:

Подставляя в это равенство вместо их выражения из (4) и пользуясь правом производить операции над координатами вместо соответствующих операций над векторами, получим:

Так как система векторов будучи базисом, линейно независима, то последнее равенство имеет место тогда и только тогда, когда

Отсюда и из определения 3 имеем: система векторов (3) линейно зависима тогда и только тогда, когда система уравнений (5) относительно неизвестных имеет ненулевое решение.

Последнее имеет место лишь в том случае, когда ранг матрицы составленной из коэффициентов системы (5), меньше числа неизвестных А так как ранг матрицы равен числу ее линейно независимых столбцов, а столбцами матрицы являются координатные столбцы векторов (3), то ранг означает линейную зависимость системы координатных столбцов векторов Этим теорема доказана.

Следствие 1. Максимальное число линейно независимых векторов системы пространства имеющего базис равно рангу матрицы составленной из координатных столбцов векторов этой системы. (Докажите!)

Следствие 2. Система векторов пространства имеющего базис линейно независима тогда и только тогда, когда матрицам, составленная из координатных столбцов этих векторов относительно данного базиса, является невырожденной.

Замечание. Значение теоремы 4 заключается в том, что она сводит вопрос о линейной зависимости системы векторов произвольного линейного пространства имеющего базис, к вопросу о линейной зависимости системы векторов арифметического пространства

Пример. Векторы их некоторого пространства имеют в каком-либо базисе координатные строки:

Показать, что базис пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. По числу координат у данных векторов замечаем, что базис пространства состоит из 4 векторов. По теореме 2 для решения первого вопроса задачи достаточно показать линейную независимость системы векторов для чего по следствию 2 из теоремы 4 нужно показать, что ранг матрицы

равен 4. Для ответа на второй вопрос нам понадобится решить уравнение

относительно неизвестных

Уравнение (6) равносильно системе:

Решаем эту систему уравнений в матричной форме:

Отсюда видно, что ранг матрицы равен 4, а потому система векторов является базисом пространства Кроме того, по последней матрице находим:

Упражнения

(см. скан)