Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ§ 12. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦЕЙЕсли каждому элементу х некоторого множества
Отображение множества В дальнейшем мы будем рассматривать преобразования линейных пространств. Наличие операций в линейном пространстве Определение 13. Линейным преобразованием (или линейным оператором) линейного пространства
для любых Вектор Отметим два следствия из определения 13. 1. Всякое линейное преобразование переводит нулевой вектор в нулевой вектор. В самом деле, полагая
2. Условия 1° и 2° эквивалентны одному условию:
В самом деле, полагая в
В случае, когда линейное пространство Теорема 11. Для фиксированного базиса Доказательство. Для произвольного вектора х существует однозначное представление в базисе
Поставим вектору
Вектор Покажем теперь, что преобразование
по формуле (2) находим:
и условие 2° линейности выполнено. Пусть у — второй вектор из
Тогда по формуле (2) для вектора
получаем:
и условие Таким образом, искомое линейное преобразование построено. Осталось показать единственность такого преобразования. Пусть
Теорема 11 означает, что линейное преобразование Пусть
Матрица
называется матрицей линейного преобразования Таким образом, при фиксированном базисе всякому линейному преобразованию Обратно, пусть дана квадратная матрица А порядка В итоге при фиксированном базисе пространства Выясним, как Еыражаются координаты вектора-образа Если
какой-либо вектор из
Обозначив через
Вводя матричные обозначения
для столбцов координат данного вектора
Таким образом, при фиксированном базисе столбец координат преобразованного вектора получается умножением матрицы А линейного преобразования Примеры и упражнения 1. Пусть в некотором базисе
Тогда согласно (5) векторы
преобразуются в векторы:
2. Пусть в некотором базисе пространства
Найти в базисе Легко видеть, что векторы
откуда и получаем искомую матрицу:
3. Решить ту же задачу для векторов:
Ответ (в базисе
|
1 |
Оглавление
|