Глава II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

§ 12. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦЕЙ

Если каждому элементу х некоторого множества поставлен в соответствие вполне определенный элемент у множества то говорят, что задано отображение множества в множество и пишут:

Отображение множества в себя называется преобразованием множества Два преобразования и множества называются равными, если для любого

В дальнейшем мы будем рассматривать преобразования линейных пространств. Наличие операций в линейном пространстве позволяет из множества всех преобразований выделить класс наиболее важных и поддающихся изучению так называемых линейных преобр азований.

Определение 13. Линейным преобразованием (или линейным оператором) линейного пространства над полем называется такое его преобразование которое удовлетворяет условиям:

для любых

Вектор называется образом вектора х, вектор прообразом вектора

Отметим два следствия из определения 13.

1. Всякое линейное преобразование переводит нулевой вектор в нулевой вектор.

В самом деле, полагая в условии 2° и учитывая, что где получаем:

2. Условия 1° и 2° эквивалентны одному условию:

В самом деле, полагая в получаем 2°. Полагая же в получаем условие И обратно, из условий и 2° следует:

В случае, когда линейное пространство -мерно, имеет место следующее важное утверждение.

Теорема 11. Для фиксированного базиса линейного пространства и произвольного набора его векторов существует и притом только одно линейное преобразование пространства которое переводит векторы соответственно в векторы

Доказательство. Для произвольного вектора х существует однозначное представление в базисе

Поставим вектору в соответствие вектор

Вектор построенный по формуле (2), будет вполне определенным вектором пространства так что соответствие будет преобразованием пространства Если в качестве вектора х взять то в силу (2) будет Аналогично Таким образом, преобразование переводит векторы соответственно в векторы как того и требует теорема.

Покажем теперь, что преобразование линейно. Для вектора

по формуле (2) находим:

и условие 2° линейности выполнено.

Пусть у — второй вектор из

Тогда по формуле (2) для вектора

получаем:

и условие линейности выполнено.

Таким образом, искомое линейное преобразование построено. Осталось показать единственность такого преобразования. Пусть

второе линейное преобразование, такое, что Так как преобразование линейно, то для любого вектора имеем:

Теорема 11 означает, что линейное преобразование пространства вполне определяется заданием лишь образов среп векторов какого-либо базиса. Этот факт дает возможность указать удобное для практического обращения с линейными преобразованиями описание их с помощью матриц.

Пусть линейное пространство с фиксированным базисом Векторы среи среп в базисе задаются своими координатами:

Матрица

называется матрицей линейного преобразования в базисе

Таким образом, при фиксированном базисе всякому линейному преобразованию пространства соответствует единственная матрица А с элементами из основного поля

Обратно, пусть дана квадратная матрица А порядка с элементами из поля Пользуясь матрицей при фиксированном базисе по формулам (3) найдем векторы Однако по теореме 11 выбором этих векторов вполне определяется линейное преобразование пространства Очевидно, что матрицей этого преобразования в базисе является матрица

В итоге при фиксированном базисе пространства имеем взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями в и квадратными матрицами порядка с элементами из основного поля Этот факт и позволяет говорить, что линейное преобразование задается матрицей в базисе Заметим, что полученное взаимно однозначное соответствие между множествами линейных преобразований в и матриц существенно зависит от базиса.

Выясним, как Еыражаются координаты вектора-образа через координаты данного вектора х, если преобразование задано матрицей А в базисе

Если

какой-либо вектор из то по свойству 2° и формулам

Обозначив через координаты вектора в базисе получаем:

Вводя матричные обозначения

для столбцов координат данного вектора и его образа получаем матричную запись системы равенств (4):

Таким образом, при фиксированном базисе столбец координат преобразованного вектора получается умножением матрицы А линейного преобразования на столбец координат данного вектора.

Примеры и упражнения

1. Пусть в некотором базисе пространства линейное преобразование задано матрицей

Тогда согласно (5) векторы

преобразуются в векторы:

2. Пусть в некотором базисе пространства заданы системы векторов:

Найти в базисе матрицу линейного преобразования переводящего векторы соответственно в векторы

Легко видеть, что векторы составляют базис По теореме 11 искомое преобразование существует и единственно. Из формул (4) замечаем, что для отыскания матрицы А преобразования в базисе нужно найти линейные выражения векторов-образов через векторы базиса Производя необходимые вычисления, находим, что

откуда и получаем искомую матрицу:

3. Решить ту же задачу для векторов:

Ответ (в базисе