§ 38. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
Определение 39. Две вещественные квадратичные формы 
называются эквивалентными, если одна из них переводится в другую посредством невырожденного линейного преобразования переменных с вещественными коэффициентами.
Это отношение квадратичных форм действительно является отношением эквивалентности, поскольку оно обладает необходимыми для этого свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отсюда следует разбиение множества всех квадратичных форм на классы эквивалентных.
Каждая квадратичная форма 
эквивалентна форме 
представляющей канонический вид исходной формы: переход от 
выполняется невырожденным линейным преобразованием.
Квадратичные формы
эквивалентны, так как форма 
переходит в форму 
если положить
Преобразование переменных, устанавливающее эквивалентность форм 
мы усмотрели сейчас непосредственно. В других случаях это может оказаться затруднительным. Задачу установления эквивалентности двух вещественных квадратичных форм можно решить на основе закона инерции.
Теорема 41. Две вещественные квадратичные формы от 
переменных эквивалентны тогда и только тогда, когда эти формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, т. е. когда при приведении их к каноническому виду получаются канонические формы с одинаковым числом квадратов с положительными, отрицательными и нулевыми коэффициентами.
Доказательство. Пусть квадратичные формы 
эквивалентны, так что форма 
переводится в форму 
невырожденным линейным преобразованием с вещественными коэффициентами. При этом, как известно, ранг формы не изменяется, так что 
По закону инерции имеем равенства индексов: 
а поэтому для сигнатур 
Обратно, пусть 
Так как
число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов нормального вида формы 
равно числу соответствующих коэффициентов нормального вида формы 
Значит, обе формы приводятся к одному и тому же нормальному виду и поэтому могут быть переведены друг в друга.
Пример. Выяснить, какие из вещественных форм 
эквивалентны между собой, если
Решение. Приводим каждую форму к каноническому виду. Соответственно получаем:
так что
Согласно теореме 41 формы 
эквивалентны между собой и не эквивалентны форме 
Упражнения
(см. скан)
