§ 38. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

Определение 39. Две вещественные квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них переводится в другую посредством невырожденного линейного преобразования переменных с вещественными коэффициентами.

Это отношение квадратичных форм действительно является отношением эквивалентности, поскольку оно обладает необходимыми для этого свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отсюда следует разбиение множества всех квадратичных форм на классы эквивалентных.

Каждая квадратичная форма эквивалентна форме представляющей канонический вид исходной формы: переход от выполняется невырожденным линейным преобразованием.

Квадратичные формы

эквивалентны, так как форма переходит в форму если положить

Преобразование переменных, устанавливающее эквивалентность форм мы усмотрели сейчас непосредственно. В других случаях это может оказаться затруднительным. Задачу установления эквивалентности двух вещественных квадратичных форм можно решить на основе закона инерции.

Теорема 41. Две вещественные квадратичные формы от переменных эквивалентны тогда и только тогда, когда эти формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, т. е. когда при приведении их к каноническому виду получаются канонические формы с одинаковым числом квадратов с положительными, отрицательными и нулевыми коэффициентами.

Доказательство. Пусть квадратичные формы

эквивалентны, так что форма переводится в форму невырожденным линейным преобразованием с вещественными коэффициентами. При этом, как известно, ранг формы не изменяется, так что По закону инерции имеем равенства индексов: а поэтому для сигнатур

Обратно, пусть Так как

число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов нормального вида формы равно числу соответствующих коэффициентов нормального вида формы Значит, обе формы приводятся к одному и тому же нормальному виду и поэтому могут быть переведены друг в друга.

Пример. Выяснить, какие из вещественных форм эквивалентны между собой, если

Решение. Приводим каждую форму к каноническому виду. Соответственно получаем:

так что

Согласно теореме 41 формы эквивалентны между собой и не эквивалентны форме

Упражнения

(см. скан)