§ 5. РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Определение 5. Линейное пространство называется -мерным, если в нем выполнимы аксиомы:

IV. 9°. В пространстве существует хотя бы одна линейно независимая система векторов.

10°. Всякая система векторов пространства линейно зависима.

Число при этом называется размерностью пространства и обозначается через Линейное пространство размерности будем обозначать Пространства, в которых можно указать как угодно большое число линейно независимых векторов, называются бесконечномерными. Примером такого пространства может служить пространство

Теорема 5. Линейное пространство является -мерным тогда и только тогда, когда в нем существует базис из векторов.

Доказательство. Пусть линейное пространство, размерности По определению 5 в существует система,

из линейно независимых векторов. Если некоторый произвольный вектор из то система ею х из векторов по определению 5 линейно зависима. По свойству 2 линейной зависимости векторов получаем, что вектор линейно выражается через векторы которые в соответствии с определением 4 образуют базис пространства

Обратно, пусть пространство имеет базис из векторов Следовательно, условие 9° определения 5 выполнено. Покажем, что выполняется также и условие 10°. Допустим, что в существует линейно независимая система векторов Так как каждый вектор выражается через векторы (по определению базиса), то по теореме 1 мы приходим к абсурду Этим теорема доказана.

Исходя из определения 5 или используя теорему 5, легко установить, что пространство трехмерно, двумерно, одномерно, имеет размерность Пространство многочленов степени является -мерным, пространство квадратных матриц порядка имеет размерность

Упражнения

(см. скан)