из
линейно независимых векторов. Если
некоторый произвольный вектор из
то система
ею х из
векторов по определению 5 линейно зависима. По свойству 2 линейной зависимости векторов получаем, что вектор
линейно выражается через векторы
которые в соответствии с определением 4 образуют базис пространства
Обратно, пусть пространство
имеет базис из
векторов
Следовательно, условие 9° определения 5 выполнено. Покажем, что выполняется также и условие 10°. Допустим, что в
существует линейно независимая система векторов
Так как каждый вектор
выражается через векторы
(по определению базиса), то по теореме 1 мы приходим к абсурду
Этим теорема доказана.
Исходя из определения 5 или используя теорему 5, легко установить, что пространство
трехмерно,
двумерно, одномерно,
имеет размерность
Пространство многочленов степени
является
-мерным, пространство квадратных матриц порядка
имеет размерность
Упражнения
(см. скан)