Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 11. ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ. ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙСовокупность векторов пространства
Черт. 1 с тем нежелательно исключать из рассмотрения прямые типа а — им и присваивают наименование линейных многообразий, полученных сдвигом подпространства Определение И. Пусть дано линейное пространство
где вектор у пробегает все подпространство
Рассмотрим совместную неоднородную систему линейных уравнений над полем
и соответствующую ей однородную систему:
Обозначим через
где Таким образом, совокупность решений произвольной совместной системы линейных уравнений (1) есть линейное многообразие, полученное параллельным сдвигом пространства решений соответствующей однородной системы. Вектором сдвига является некоторое частное решение системы (1). Говорят, что это линейное многообразие задано системой линейных уравнений (1). Если
где Для примера построим линейное многообразие решений системы:
Решая обычным путем эту и соответствующую ей однородную системы, находим Следовательно, общее решение данной системы уравнений будет иметь вид:
где с — любое вещественное число. Другими словами, множество решений данной системы уравнений является многообразием, полученным параллельным сдвигом линейного подпространства Из геометрических соображений видно (см. черт. 1), что многообразие Теорема 10. Пусть
Линейные многообразия и Доказательство. 1. Докажем сначала, что если
где
Если вектор х пробегает H, то 2. Пусть теперь
Произвольный вектор
А так как — Первая часть теоремы 10 показывает, что линейное подпространство, параллельным сдвигом которого получается данное многообразие, определено однозначно. Это положение обосновывает корректность следующего определения. Определение 12. Размерностью линейного многообразия называется размерность того линейного подпространства, параллельным сдвигом которого оно получено. Одномерные линейные многообразия называются прямыми, двумерные — плоскостями. Линейное многообразие размерности Упражнения(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|