§ 11. ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ. ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Совокупность векторов пространства исходящих из точки О и расположенных на прямой а, проходящей через точку О, образует подпространство состоящее из векторов вида при произвольном вещественном а (черт. 1). Пусть вектор не принадлежит При фиксированном и переменном а совокупность концов векторов вида дает прямую параллельную прямой а и проходящую через точку Геометрически ясно, что если два вектора совокупности векторов вида о то их сумма не принадлежит этой совокупности. Таким образом, если векторы, лежащие на прямой а, составляют подпространство, то векторы с концами на прямой не проходящей через точку О, подпространства не образуют. Вместе

Черт. 1

с тем нежелательно исключать из рассмотрения прямые типа а — им и присваивают наименование линейных многообразий, полученных сдвигом подпространства

Определение И. Пусть дано линейное пространство и его подпространство Линейным многообразием, полученным параллельным сдвигом подпространства на вектор называется совокупность всех векторов вида

где вектор у пробегает все подпространство При этом называют определяющим пространством многообразия его вектором сдвига и пишут:

Рассмотрим совместную неоднородную систему линейных уравнений над полем

и соответствующую ей однородную систему:

Обозначим через пространство решений системы (2). Как мы уже знаем, есть подпространство пространства Примем обозначения:

где есть некоторое фиксированное решение системы (1), у — произвольное решение системы (2), произвольное решение системы (1). Известно, что все решения системы (1) могут быть получены также прибавлением всех решений системы (2) к одному и тому же частному решению системы (1). Значит, множество векторов х исчерпывается векторами вида когда у пробегает все пространство так что

Таким образом, совокупность решений произвольной совместной системы линейных уравнений (1) есть линейное многообразие, полученное параллельным сдвигом пространства решений соответствующей однородной системы. Вектором сдвига является некоторое частное решение системы (1). Говорят, что это линейное многообразие задано системой линейных уравнений (1).

Если ранг основной матрицы системы (1), а совокупность векторов составляет фундаментальную систему решений системы (2), то любой вектор х линейного многообразия можно записать в виде

где произвольные числа.

Для примера построим линейное многообразие решений системы:

Решая обычным путем эту и соответствующую ей однородную системы, находим частное решение данной системы общее решение однородной системы .

Следовательно, общее решение данной системы уравнений будет иметь вид:

где с — любое вещественное число. Другими словами, множество решений данной системы уравнений является многообразием, полученным параллельным сдвигом линейного подпространства векторов вида с (11, 1, —7) на вектор . (Сделайте к данному примеру чертеж и выполните упр. № 462 из [10].)

Из геометрических соображений видно (см. черт. 1), что многообразие (прямая может быть получено сдвигом подпространства (прямой и на другой вектор В связи с этим, естественно, возникает вопрос об описании всех определяющих подпространств и векторов сдвига для заданного многообразия Этот вопрос решает

Теорема 10. Пусть подпространства линейного пространства и

Линейные многообразия и совпадают тогда и только тогда, когда совпадают

Доказательство. 1. Докажем сначала, что если то Из (3) следует, что всякий вектор представим в виде

где Из равенства получаем:

Если вектор х пробегает H, то пробегает все подпространство Значит, для каждого найдется такое, что имеет место (4). В частности, если то Отсюда видно, что Но тогда из (4) следует, что Аналогичные рассуждения приводят к включению Таким образом,

2. Пусть теперь т. е.

Произвольный вектор можно представить в виде где Отсюда

А так как — то, поскольку пространство, Следовательно, т. е. Аналогично доказывается, что с Я Итак,

Первая часть теоремы 10 показывает, что линейное подпространство, параллельным сдвигом которого получается данное многообразие, определено однозначно. Это положение обосновывает корректность следующего определения.

Определение 12. Размерностью линейного многообразия называется размерность того линейного подпространства, параллельным сдвигом которого оно получено.

Одномерные линейные многообразия называются прямыми, двумерные — плоскостями. Линейное многообразие размерности пространства называют гиперплоскостью.

Упражнения

(см. скан)