§ 8. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Определение 7. Подмножество данного линейного пространства над полем называется линейным подпространством или просто подпространством пространства если оно само является линейным пространством над полем относительно определенных в операций сложения векторов и умножения вектора на числа из

Теорема 7. Для того чтобы непустое подмножество линейного пространства над полем было его подпространством, достаточно выполнения следующих двух требований:

Доказательство. Пусть условия а) и б) выполнены. Согласно определению 1 надо доказать выполнимость аксиом 8°. Пусть тогда по условию б) содержит вектор аксиома выполнена. Кроме того, содержит вместе с вектором х вектор вектор, противоположный вектору аксиома 4° выполнена. Все остальные аксиомы из выполняются в а потому они выполняются и в

Примеры. 1. Нуль-вектор 0 и само пространство тривиальные подпространства пространства

2. Все векторы пространства расположенные в некоторой плоскости (или на некоторой прямой), проходящей через О, составляют подпространство (соответственно пространства

3. Совокупность решений однородной линейной системы уравнений

т. е. совокупность всех тех векторов пространства компоненты которых удовлетворяют уравнениям системы (1), будет, очевидно, подпространством пространства размерности этого подпространства см. § 10.)

4. Пересечение двух подпространств пространства есть снова подпространство пространства

а) Пусть тогда если то

Аналогично если то

Так как подпространства, то т. е.

б) Пусть Тогда Значит, и по теореме есть подпространство пространства

5. Множество векторов вида где подпространства из есть подпространство пространства

а) Пусть Тогда

Пусть Тогда

Так как подпространства, то и тогда

б) Если а так как пространства, то Следовательно, подпространство в

Определение 8. Построенное выше подпространство называется суммой пространств и обозначается через В том случае, когда эта сумма называется прямой суммой.

Пусть есть нетривиальное подпространство пространства Так как не все векторы из входят в то не из всякого базиса пространства можно выбрать базис пространства Больше того, в могут существовать базисы, целиком содержащиеся в есть множества векторов из не содержащихся в

Теорема 8. Если подпространство в размерности его базис, то в всегда можно выбрать векторы так, чтобы система векторов была базисом пространства Иначе говоря, любой базис подпространства можно дополнить до базиса всего пространства

Доказательство. Если бы каждый вектор линейно выражался через векторы то последние составляли бы базис пространства что невозможно, ибо Значит, в существует вектор не выражающийся через Система векторов линейно независима (§ 3, свойство 2). Если то аналогичным образом в найдется вектор такой, что система линейно независима. Продолжая эти рассуждения, мы через шагов придем к базису пространства

Теорема 9. Если пространство есть прямая сумма подпространств то

Доказательство. Пусть базисы соответственно подпространств и Покажем сначала, что система векторов

линейно независима. В самом деле, если

то

С другой стороны, из следует, что всякий вектор из является линейной комбинацией векторов системы (3). Таким образом, система (3) является базисом пространства а потому т. е. имеет место (2).

Из доказательства теоремы 9 видно, что при объединение базисов пространств и есть базис пространства (Верно ли обратное утверждение?)

Отметим еще без доказательства следующее обобщение теоремы 9:

Упражнения

(см. скан)