§ 17. ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВАХ И ИНДУЦИРОВАННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ

Определение 22. Пусть линейное преобразование пространства Подпространство называется инвариантным относительно преобразования если из

В случае инвариантности подпространства можно говорить о линейном преобразовании с областью определения Преобразование называется индуцированным преобразованием. Если то если же то существует, а не определено. Различие преобразований состоит лишь в различии между их областями применения.

Примеры. 1. Нуль-подпространство, состоящее из одного вектора 0, и само пространство инвариантны относительно любого преобразования в

2. В пространстве выполняется некоторый поворот вокруг оси проходящей через точку О. Подпространствами, инвариантными относительно будут:

а) совокупность векторов, лежащих на оси

б) совокупность векторов, лежащих в плоскости, проходящей через точку О и перпендикулярной оси

3. -пространство многочленов степени Преобразование переводящее любой многочлен в его производную, является линейным. Пусть натуральное число, причем Тогда подпространство всех многочленов степени будет инвариантным относительно преобразования

4. Линейное преобразование действующее в пространстве задано в некотором базисе матрицей

Пусть Покажем, что подпространство инвариантно относительно т. е. что из следует Векторы подпространства имеют вид:

, где произвольные вещественные числа. Следовательно,

Проверьте, что подпространство где , также инвариантно относительно Будет ли инвариантным относительно подпространство где

5. Пусть подпространство размерности инвариантно относительно преобразования пространства и пусть векторы составляют базис пространства По теореме 8 в можно подобрать векторы так, что система векторов будет базисом пространства В силу инвариантности для векторов будет Отсюда имеем:

Таким образом, в базисе матрица преобразования имеет специфический вид: