§ 17. ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВАХ И ИНДУЦИРОВАННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ
Определение 22. Пусть
линейное преобразование пространства
Подпространство
называется инвариантным относительно преобразования
если из
В случае инвариантности подпространства
можно говорить о линейном преобразовании
с областью определения
Преобразование
называется индуцированным преобразованием. Если
то
если же
то
существует, а
не определено. Различие преобразований
состоит лишь в различии между их областями применения.
Примеры. 1. Нуль-подпространство, состоящее из одного вектора 0, и само пространство
инвариантны относительно любого преобразования в
2. В пространстве
выполняется некоторый поворот
вокруг оси
проходящей через точку О. Подпространствами, инвариантными относительно
будут:
а) совокупность векторов, лежащих на оси
б) совокупность векторов, лежащих в плоскости, проходящей через точку О и перпендикулярной оси
3.
-пространство многочленов
степени
Преобразование
переводящее любой многочлен в его производную, является линейным. Пусть
натуральное число, причем
Тогда подпространство всех многочленов степени будет инвариантным относительно преобразования
4. Линейное преобразование
действующее в пространстве
задано в некотором базисе
матрицей
Пусть
Покажем, что подпространство
инвариантно относительно
т. е. что из
следует
Векторы подпространства
имеют вид: