§ 21. О СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРАХ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ

В § 18—20 мы рассмотрели основные предложения о собственных векторах и собственных значениях. Среди линейных преобразований часто встречаются такие, матрицы которых в некотором базисе симметричны. Для таких преобразований справедливы специфические теоремы о собственных значениях и собственных векторах.

Напомним некоторые свойства комплексных чисел. Если есть комплексное число, сопряженное числу модуль числа то

Для произвольной матрицы А с комплексными элементами через А обозначают матрицу, получающуюся из А заменой всех ее элементов на сопряженные. Из (1) следует, что для произвольных матриц справедливо:

где а — комплексное число.

Условие вещественности комплексного числа и матрицы А запишется так:

Теорема 22. Все собственные значения линейного преобразования с вещественной симметрической матрицей А вещественны.

Доказательство. Пусть есть линейное пространство над полем комплексных чисел и линейное преобразование в Пусть, далее, в некотором базисе матрица А преобразования является симметрической матрицей с вещественными элементами. Рассмотрим любое собственное значение X преобразованияф (X — комплексное число) и соответствующий ему собственный вектор

Обозначим через

матрицу-столбец комплексных координат вектора х в рассматриваемом базисе. Тогда равенство (4) запишется в виде

Обозначим через строку координат векторах. Тогда имеет смысл произведение матриц Это произведение будет матрицей с одним элементом.

Используя симметричность матрицы А и соотношение (4), получаем:

Используя вещественность матрицы А и соотношения (2), (3), (4), имеем:

Но а потому получаем матричное равенство:

где есть матрица из одного числа. Именно:

причем матрица не нулевая, поскольку

Перейдя от матричного равенства (5) к числовому и сократив на число не равное нулю, получим:

Значит, к вещественно.

Теорема 23. Пусть линейное преобразование в некотором базисе задается симметрической матрицей А. Если х и у — два собственных вектора преобразования отвечающие различным собственным значениям к и координаты этих векторов в рассматриваемом базисе, то

Доказательство. Сохраняем обозначения: матрицы-столбцы, матрицы-строки координат. По условию значит,

Произведение имеет смысл. Используя симметричность матрицы А, имеем:

С другой стороны,

Но а потому

где Отсюда

Так как то из (6) следует Теорема доказана.

Векторы координаты которых удовлетворяют соотношению впредь будем называть ортогональными. Тогда теорему 23 можно сформулировать так: собственные векторы линейного преобразования с симметрической матрицей, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой.

Пример. Матрицу А линейного преобразования привести, если это возможно, к диагональному виду:

Решение. Замечаем, что матрица А симметрическая. Находим сначала собственные значения, а затем соответствующие им собственные векторы:

Собственные значения: кратности кратности 1.

Для отыскание собственных векторов сводится к решению уравнения

Система (7) имеет три линейно независимых решения, например:

Находим собственный вектор для

Система векторов линейно независима (свойство 3, § 18); ее можно принять за базис пространства Тк. Так как

то матрица данного линейного преобразования в базисе принимает диагональную форму:

Замечание. Вектор ортогонален к векторам (согласно теореме 23). Но векторы вообще говоря, не обязаны получаться попарно ортогональными: они соответствуют одному собственному значению 2. Однако и для 2 можно найти попарно ортогональные собственные векторы

Действительно, собственные векторы, соответствующие находятся из уравнения (7). В качестве первого собственного вектора возьмем, например,

Второй собственный вектор найдем из условия ортогональности Для этого, кроме (7), должно быть

Из системы уравнений (7) и (8) находим:

Для отыскания третьего собственного вектора добавляем к уравнению (7) условия ортогональности вектора к векторам т. е. уравнения

Из системы уравнений (7), (8), (9) находим:

Таким образом, попарно ортогональными собственными векторами данного преобразования являются:

Упражнения

(см. скан)