Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 21. О СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРАХ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙВ § 18—20 мы рассмотрели основные предложения о собственных векторах и собственных значениях. Среди линейных преобразований часто встречаются такие, матрицы которых в некотором базисе симметричны. Для таких преобразований справедливы специфические теоремы о собственных значениях и собственных векторах. Напомним некоторые свойства комплексных чисел. Если
Для произвольной матрицы А с комплексными элементами через А обозначают матрицу, получающуюся из А заменой всех ее элементов на сопряженные. Из (1) следует, что для произвольных матриц
где а — комплексное число. Условие вещественности комплексного числа Теорема 22. Все собственные значения линейного преобразования Доказательство. Пусть
Обозначим через
матрицу-столбец комплексных координат вектора х в рассматриваемом базисе. Тогда равенство (4) запишется в виде
Обозначим через Используя симметричность матрицы А и соотношение (4), получаем:
Используя вещественность матрицы А и соотношения (2), (3), (4), имеем:
Но
где
причем матрица Перейдя от матричного равенства (5) к числовому и сократив на число
Значит, к вещественно. Теорема 23. Пусть линейное преобразование
Доказательство. Сохраняем обозначения:
Произведение
С другой стороны,
Но
где
Так как Векторы Пример. Матрицу А линейного преобразования привести, если это возможно, к диагональному виду:
Решение. Замечаем, что матрица А симметрическая. Находим сначала собственные значения, а затем соответствующие им собственные векторы:
Собственные значения: Для
Система (7) имеет три линейно независимых решения, например:
Находим собственный вектор для
Система векторов
то матрица данного линейного преобразования
Замечание. Вектор
Действительно, собственные векторы, соответствующие
Второй собственный вектор
Из системы уравнений (7) и (8) находим:
Для отыскания третьего собственного вектора
Из системы уравнений (7), (8), (9) находим:
Таким образом, попарно ортогональными собственными векторами данного преобразования
Упражнения(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|