§ 26. ИЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Определение 32. Два евклидовых пространства называются изоморфными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что:

где X — произвольное вещественное число.

Первые два условия означают, что изоморфны как линейные пространства, третье условие означает, что при изоморфизме сохраняется скалярное произведение.

Теорема 27. Любые два евклидовых пространства размерности изоморфны.

Доказательство. Выберем в некоторые ортонормированные базисы соответственно. Далее, каждому вектору

из поставим в соответствие вектор из равный

Таким образом, имеют в соответствующих базисах одинаковые координаты. Очевидно, условия 1 и 2 определения 32 будут выполнены. Условие 3 также выполняется, ибо если

то, учитывая ортонормированность базисов получим:

т. е.

Как следствие, получаем, что каждое евклидово пространство изоморфно арифметическому евклидову пространству 7°.