§ 29. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

Мы рассмотрели ортогональные преобразования евклидова пространства. Другой важный класс преобразований евклидовых пространств образуют так называемые симметрические преобразования.

Определение 35. Линейное преобразование евклидова пространства называется симметрическим, если для любых двух векторов из имеет место равенство скалярных произведений:

Следующая теорема аналогична теореме 29, она дает матричную характеристику симметрических преобразований.

Теорема 30. 1) Если линейное преобразование евклидова пространства является симметрическим, то его матрица в любом ортонормированном базисе есть матрица симметрическая.

2) Если линейное преобразование евклидова пространства хотя бы в одном ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу, то это преобразование симметрическое.

Доказательство. 1) Пусть есть симметрическое преобразование пространства ортонормированный

базис этого пространства и

является матрицей преобразования так что

Так как по условию ортонормированный базис, то

Но по определению (уреь, следовательно, матрица симметрическая.

2) Пусть линейное преобразование в ортонормированном базисе задано симметрической матрицей А, так что имеют место соотношения (2), где Надо доказать, что для любых векторов будет

Пусть произвольные векторы из

Тогда

Отсюда, используя ортонормированность базиса и учитывая, что получаем

Теорема 30 позволяет дать новое определение симметрического преобразования, эквивалентное определению 35: симметрическим преобразованием называется такое линейное преобразование, матрица которого хотя бы в одном ортонормированном базисе является симметрической.

Теорема 31. Симметрическое преобразование евклидова пространства имеет хотя бы один собственный вектор.

В самом деле, пусть симметрическое преобразование пространства Тогда по теореме 30 в любом ортонормированном базисе оно задается симметрической матрицей А и, следовательно, по теореме 22 все собственные значения преобразования вещественны. Пусть одно из собственных значений преобразования Тогда а потому однородная система уравнений имеет хотя бы одно ненулевое решение, которое и является координатным столбцом собственного вектора преобразования

Для вещественной симметрической матрицы соответствующей симметрическому преобразованию пространства уравнение степени относительно К имеет, как известно, только вещественные корни. Если бы все эти корни были различны, то по свойству 2 собственных векторов (§ 18) преобразование имело бы собственных векторов, составляющих базис пространства Однако в случае наличия кратных корней уравнения вопрос о числе линейно независимых собственных векторов преобразования требует специального рассмотрения.

Теорема 32. 1) Для любого симметрического преобразования евклидова пространства можно указать собственных векторов, составляющих ортонормированный базис пространства

2) Обратно, если линейное преобразование пространства имеет собственных векторов, составляющих ортонормированный базис пространства то преобразование симметрическое.

Доказательство. 1) Применим индукцию по размерности пространства При утверждение верно в силу теоремы 31. Предположим, что теорема верна для пространства размерности

По теореме 31 симметрическое преобразование пространства имеет хотя бы один собственный вектор, который, не теряя общности, можно считать нормированным. Обозначим его через Совокупность всех векторов пространства ортогональных вектору есть подпространство размерности (см. § 25). Пусть произвольный вектор из так что

Тогда в силу симметричности преобразования имеем:

Значит, из следует, что т. е. подпространство инвариантно относительно преобразования

Если действовать преобразованием только на векторы из то получим новое преобразование определенное на Оно линейно, так как линейно преобразование на и симметрично, так как равенство (1) выполняется для всех векторов из в том числе и для векторов, принадлежащих

По индуктивному предположению симметрическое преобразование пространства имеет собственных векторов составляющих ортонормированный базис пространства Так как то собственные векторы попарно ортогональны и потому составляют ортонормированный базис пространства

2) Пусть ортонормированный базис пространства состоит из собственных векторов преобразования так что

Тогда матрица преобразования

очевидно, симметрична; по теореме 30 (часть 2) преобразование будет симметрическим.

Следствие. Пусть линейное преобразование пространства с вещественной симметрической матрицей А. Тогда каждому корню X кратности характеристического многочлена преобразования соответствует ровно линейно независимых собственных векторов (т. е. размерность пространства собственных векторов, отвечающих значению X, равна

В самом деле, пусть попарно различные корни характеристического многочлена и соответственно кратности этих корней, так что

По теореме 21

Кроме того, по теореме 32

Если хотя бы в одном из соотношений (3) имел место знак то было бы:

что противоречит соотношению (4). Значит, и теорема доказана.

Черт. 7

Геометрическая иллюстрация содержания теоремы 32 дается на чертеже 7, где рассматриваемое пространство есть пространство векторов плоскости, исходящих из некоторой точки О. Так как то любое симметрическое преобразование пространства по теореме 32 имеет ровно два взаимно перпендикулярных нормированных собственных вектора и

Собственные значения и могут быть равными или различными (мы взяли Найдем образ произвольного вектора Пусть

где через и обозначены составляющие вектора х по Тогда

Таким образом, первая составляющая вектора х умножается на вторая умножается на (левый чертеж).

Значит, симметрическое преобразование сводится к растяжению или сжатию плоскости в двух взаимно перпендикулярных направлениях в направлениях собственных векторов. Собственные значения и при этом являются коэффициентами соответствующих растяжений (при отрицательном X растяжение

со провождается еще изменением направления на противоположное). Квадратная сетка перейдет в прямоугольную сетку (чертежеправа).

Аналогично симметрическое преобразование пространства сводится к растяжению пространства в трех взаимно перпендикулярных направлениях с возможным изменением каких-либо из этих направлений на противоположные.