Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 29. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВАМы рассмотрели ортогональные преобразования евклидова пространства. Другой важный класс преобразований евклидовых пространств образуют так называемые симметрические преобразования. Определение 35. Линейное преобразование
Следующая теорема аналогична теореме 29, она дает матричную характеристику симметрических преобразований. Теорема 30. 1) Если линейное преобразование 2) Если линейное преобразование Доказательство. 1) Пусть базис этого пространства и
является матрицей преобразования
Так как по условию
Но по определению (уреь, 2) Пусть линейное преобразование Пусть
Тогда
Отсюда, используя ортонормированность базиса Теорема 30 позволяет дать новое определение симметрического преобразования, эквивалентное определению 35: симметрическим преобразованием называется такое линейное преобразование, матрица которого хотя бы в одном ортонормированном базисе является симметрической. Теорема 31. Симметрическое преобразование евклидова пространства имеет хотя бы один собственный вектор. В самом деле, пусть Для вещественной симметрической матрицы Теорема 32. 1) Для любого симметрического преобразования 2) Обратно, если линейное преобразование Доказательство. 1) Применим индукцию по размерности пространства По теореме 31 симметрическое преобразование
Тогда в силу симметричности преобразования
Значит, из Если действовать преобразованием По индуктивному предположению симметрическое преобразование 2) Пусть ортонормированный базис пространства
Тогда матрица преобразования
очевидно, симметрична; по теореме 30 (часть 2) преобразование Следствие. Пусть В самом деле, пусть
По теореме 21
Кроме того, по теореме 32
Если хотя бы в одном из соотношений (3) имел место знак
что противоречит соотношению (4). Значит,
Черт. 7 Геометрическая иллюстрация содержания теоремы 32 дается на чертеже 7, где рассматриваемое пространство есть пространство
Собственные значения и
где через и
Таким образом, первая составляющая вектора х умножается на вторая умножается на Значит, симметрическое преобразование сводится к растяжению или сжатию плоскости в двух взаимно перпендикулярных направлениях со провождается еще изменением направления на противоположное). Квадратная сетка перейдет в прямоугольную сетку (чертежеправа). Аналогично симметрическое преобразование пространства
|
1 |
Оглавление
|