§ 18. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Пусть линейное преобразование пространства над полем Простейшей, но весьма важной будет ситуация, при которой вектор х переходит в коллинеарный вектор так что где X — некоторое число из поля Понятно, что для данного линейного преобразования соотношение может выполняться лишь для некоторых векторов такие векторы и называются собственными векторами линейного преобразования Условие выполняется тривиальным образом для нулевого вектора так как всегда Но этот случай не представляет интереса. Когда говорят о собственных векторах преобразования, то имеют в виду векторы, отличные от нулевого.

Определение 23. Собственным вектором линейного преобразования пространства над полем называется ненулевой вектор х, удовлетворяющий условию

для некоторого Число К при этом называется собственным значением преобразования соответствующим вектору

Пример. Пусть линейное преобразование пространства в некотором базисе задано матрицей

Вектор является собственным в этом преобразовании, так как

Соответствующее собственное значение равно 2. В то же время, например, вектор (3, 2, 7) не является собственным в данном преобразовании, что легко проверить, найдя его образ. Оставляя пока в стороне вопрос о существовании и способе отыскания собственных векторов, укажем некоторые их свойства.

Свойство 1. Собственные векторы линейного преобразования отвечающие данному собственному значению вместе с нулевым вектором образуют подпространство.

Доказательство. Обозначим через множество всех собственных векторов, отвечающих данному дополненное нулевым вектором 0.

Если то и в силу линейности

Следовательно, Далее, при любом имеем:

Таким образом, из следует По теореме 7 получаем, что подпространство пространства Это подпространство называется принадлежащим собственному значению

Свойство 2. Собственные векторы линейного преобразования соответствующие попарно различным собственным значениям линейно независимы.

Доказательство проводится индукцией по числу векторов Для утверждение верно, так как всякий отличный от нулевого вектор линейно независим. Положим, что утверждение верно для собственных векторов при попарном

неравенстве собственных значений Докажем, что тогда и система собственных векторов линейно независима, если попарно различны собственные значения Допустим противное. Тогда по свойству 2 линейной зависимости (§ 3) вектор линейно выражается через так что при некоторых

Применяя к обеим частям равенства (2) линейное преобразование получим:

Умножая (2) на и вычитая (3), получим:

Так как система линейно независима и разности по условию не равны нулю, то из (4) следует, что Тогда из (2) получаем что противоречит определению собственного вектора. Наше допущение оказалось неверным. Следовательно, система линейно независима.

Следствие. Линейное преобразование пространства не может иметь более собственных векторов с попарно различными собственными значениями.

Свойство 3. Пусть попарно различные собственные значения преобразования Если для каждого из этих значений взять линейно независимую систему собственных векторов, то система, состоящая из всех этих векторов, линейно независима.

Доказательство проводится индукцией по числу собственных значений. (Докажите в качестве упражнения.)