Главная > Учебное пособие по линейной алгебре
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6. ИЗОМОРФИЗМ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Определение 6. Два линейных пространства над полем называются изоморфными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие

так что

для любых векторов и любого

Если указанное соответствие обозначить буквой то вместо х можно будет писать и условия (1) запишутся в виде

Отметим некоторые свойства изоморфизма пространств.

Свойство 1. При изоморфном соответствии двух пространств произвольной линейной комбинации векторов пространства соответствует такая же линейная комбинация векторов пространства

В самом деле, пусть при изоморфизме векторы пространства переходят соответственно в векторы пространства т. е. Тогда из определения 6 индукцией по получаем:

Отсюда, в частности, следует (при

Свойство 2. При изоморфном соответствии двух пространств нулевому вектору соответствует нулевой вектор.

Свойство 3. При изоморфизме линейно независимая система векторов переходят в линейно независимую систему векторов.

Пусть векторы пространства линейно независимы и при изоморфизме переходят соответственно в векторы так Пусть между векторами имеет место линейное соотношение где 0 — нуль пространства Тогда по свойствам 1 и 2 для векторов будет выполняться соотношение пространства Но система векторов линейно независима, значит,

Из свойств 2 и 3, в частности, следует, что при изоморфизме двух пространств всякий базис одного пространства переходит в базис другого.

Теорема 6. Любые два -мерных линейных пространства изоморфны над одним полем

Доказательство. Зафиксируем какие-нибудь базисы пространств Взаимно однозначное соответствие между пространствами установим следующим способом. Пусть произвольный вектор пространства причем

Вектору поставим в соответствие вектор

Таким образом, вектор х в базисе имеет те же координаты, что и вектор х в базисе Ясно, что установленное по этому правилу соответствие векторов пространств будет взаимно однозначным. Осталось проверить, что соответствие подчиняется условиям изоморфизма (1).

Пусть

— произвольные векторы пространства и

Обозначим через векторы пространства соответствующие векторам т. е.

Замечаем, что

т. е. 1-е условие (1) определения 6 выполнено. Кроме того,

т. е. выполнено и 2-е условие (1). Этим теорема доказана.

Пусть некоторое -мерное линейное пространство над полем вещественных чисел, арифметическое пространство. Тогда из теоремы 6 имеем

Следствие. Всякое -мерное линейное пространство над полем изоморфно пространству

1
Оглавление
email@scask.ru