§ 6. ИЗОМОРФИЗМ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Определение 6. Два линейных пространства над полем называются изоморфными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие

так что

для любых векторов и любого

Если указанное соответствие обозначить буквой то вместо х можно будет писать и условия (1) запишутся в виде

Отметим некоторые свойства изоморфизма пространств.

Свойство 1. При изоморфном соответствии двух пространств произвольной линейной комбинации векторов пространства соответствует такая же линейная комбинация векторов пространства

В самом деле, пусть при изоморфизме векторы пространства переходят соответственно в векторы пространства т. е. Тогда из определения 6 индукцией по получаем:

Отсюда, в частности, следует (при

Свойство 2. При изоморфном соответствии двух пространств нулевому вектору соответствует нулевой вектор.

Свойство 3. При изоморфизме линейно независимая система векторов переходят в линейно независимую систему векторов.

Пусть векторы пространства линейно независимы и при изоморфизме переходят соответственно в векторы так Пусть между векторами имеет место линейное соотношение где 0 — нуль пространства Тогда по свойствам 1 и 2 для векторов будет выполняться соотношение пространства Но система векторов линейно независима, значит,

Из свойств 2 и 3, в частности, следует, что при изоморфизме двух пространств всякий базис одного пространства переходит в базис другого.

Теорема 6. Любые два -мерных линейных пространства изоморфны над одним полем

Доказательство. Зафиксируем какие-нибудь базисы пространств Взаимно однозначное соответствие между пространствами установим следующим способом. Пусть произвольный вектор пространства причем

Вектору поставим в соответствие вектор

Таким образом, вектор х в базисе имеет те же координаты, что и вектор х в базисе Ясно, что установленное по этому правилу соответствие векторов пространств будет взаимно однозначным. Осталось проверить, что соответствие подчиняется условиям изоморфизма (1).

Пусть

— произвольные векторы пространства и

Обозначим через векторы пространства соответствующие векторам т. е.

Замечаем, что

т. е. 1-е условие (1) определения 6 выполнено. Кроме того,

т. е. выполнено и 2-е условие (1). Этим теорема доказана.

Пусть некоторое -мерное линейное пространство над полем вещественных чисел, арифметическое пространство. Тогда из теоремы 6 имеем

Следствие. Всякое -мерное линейное пространство над полем изоморфно пространству