§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ВЕКТОРА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ БАЗИСА

Пусть линейное пространство над полем два его базиса. Условимся первый из этих базисов называть «старым», второй — «новым» и обозначать соответственно через Так как базисы, то имеют место однозначные представления:

где координаты вектора в базисе — его координаты в базисе Задача состоит в вычислении координат вектора в одном базисе по известным его координатам в другом базисе.

Как и все векторы пространства векторы базиса однозначно выражаются через векторы базиса так что можно записать:

где числа основного поля Я.

Матрица

называется матрицей перехода от базиса к базису Заметим, что столбцами матрицы являются координаты векторов в базисе Например, если для векторов базиса будет:

то матрицей перехода от базиса к базису будет:

Выразим координаты через координаты

Подставив в (1) вместо их выражения через из (2), получим:

Так как представление вектора х в базисе единственно, то коэффициенты при в левой части этого

равенства равны соответствующим коэффициентам при в правой части, т. е.

Равенства (3) можно записать в матричной форме так:

или если обозначить через X столбец координат вектора в базисе а через столбец координат того же вектора в базисе то

Таким образом, столбец координат вектора в базисе равен столбцу координат этого вектора в базисе умноженному слева на матрицу перехода от базиса к базису

Из равенства (5) легко получить также выражение вектора через В самом деле, по следствию 2 из теоремы 4 матрица невырожденная, а потому имеет обратную. Умножая обе части равенства (5) на матрицу получим:

Пример. Найти матрицу перехода от базиса к базису пространства если

Решение. Найдем линейные выражения векторов через векторы Так как по условию векторы образуют базис пространства то эти линейные представления существуют и единственны. Уравнения

равносильны соответственно системам уравнений:

Левые части этих систем отличаются лишь обозначениями неизвестных, а правые части различны. Поэтому процесс отыскания решений методом Гаусса можно записать одновременно для всех систем в матричной схеме. Получаем:

Отсюда

Упражнения

(см. скан)