§ 28. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

Определение 34. Линейное преобразование евклидова пространства называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение векторов, т. е. если

Полагая в получаем:

т. е. для любого

Следовательно,

т. е. ортогональное преобразование сохраняет длины векторов. В связи с этим говорят, что ортогональное преобразование не меняет метрики пространства

Переход обратим. В самом деле, пусть (3) верно для любого вектора из Тогда

Следовательно, и по линейности имеем:

Отсюда

По условию значит, из (4) следует (1).

Таким образом, можно дать второе определение ортогонального преобразования, эквивалентное определению 34.

Определение 34. Ортогональным преобразованием евклидова пространства называется такое линейное преобразование, которое сохраняет скалярный квадрат каждого вектора:

или, другими словами, сохраняет длину каждого вектора из Так как

и числитель и знаменатель в этом выражении не меняются при ортогональном преобразовании, то ортогональное преобразование сохраняет углы между векторами.

Теорема 28. 1) Если линейное преобразование евклидова пространства ортогонально, то образы всех векторов ортонормированного базиса сами составляют ортонормированный базис.

2) Обратно, если линейное преобразование евклидова пространства переводит хотя бы один ортонормированный базис снова в ортонормированный базис, то это преобразование ортогонально.

Доказательство. условию для векторов базиса имеем:

Так как преобразование ортогонально, то

т. е. векторы среп попарно ортогональны и нормированы. Будучи ненулевыми и линейно независимыми, они составляют ортонормированный базис пространства

2) Дано, что — ортонормированные базисы, причем через среп обозначены образы векторов для некоторого линейного преобразования евклидова пространства Надо доказать, что при этих условиях преобразование ортогонально.

Пусть произвольный вектор из и

В силу линейности имеем:

Так как базис ортонормирован, то по теореме 25

Так как базис по условию также ортонормирован, то

Мы получили, что для любого вектора Это означает, что преобразование ортогонально.

Теорема 28 может быть принята в качестве нового определения ортогонального преобразования как преобразования, которое переводит ортонормированный базис снова в ортонормированный.

На чертеже 6 показано ортогональное преобразование пространства

Левый чертеж показывает, что преобразование есть вращение плоскости на угол а вокруг точки правый чертеж иллюстрирует

Черт. 6

другой случай, когда есть вращение на угол а с последующим отражением.

Смысл теоремы 28 состоит, следовательно, в том, что понятие ортогонального преобразования пространства есть обобщение на евклидово пространство вращения обычного пространства при неподвижном начале координат или вращения, соединенного с отражением относительно какой-либо плоскости, проходящей через начало координат.

Следующая теорема дает матричное описание ортогонального преобразования.

Теорема 29. 1) Если линейное преобразование евклидова пространства ортогонально, то его матрица в любом ортонормированном базисе ортогональна.

2) Обратно, если линейное преобразование евклидова пространства хотя бы в одном ортонормированном базисе имеет ортогональную матрицу, то это преобразование ортогонально.

Доказательство. 1) Пусть линейное преобразование ортогонально и — ортонормированный базис Положим:

Тогда матрицей преобразования является

Так как по условию ортогонально, то векторы-образы составляют ортонормированный базис (теорема 28).

Таким образом, матрица является матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису Согласно § 27 матрица ортогональна.

2) Пусть линейное преобразование в ортонормированном базисе задано ортогональной матрицей Так как по условию базис ортонормирован, то, пользуясь соотношениями (5) и учитывая ортогональность матрицы находим, что

Следовательно, векторы-образы ортонормированы. Ортогональность преобразования следует тогда из второй части теоремы 28.

Из теоремы 29 следует, что произведение ортогональных преобразований есть снова ортогональное преобразование. А так как тождественное преобразование ортогонально и преобразование, обратное ортогональному, тоже ортогонально (см. пример 3, § 27), то ортогональные преобразования образуют группу. Она является подгруппой группы всех невырожденных дреобразований пространства