Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 28. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВАОпределение 34. Линейное преобразование
Полагая в
т. е. для любого
Следовательно,
т. е. ортогональное преобразование сохраняет длины векторов. В связи с этим говорят, что ортогональное преобразование не меняет метрики пространства Переход
Следовательно,
Отсюда
По условию Таким образом, можно дать второе определение ортогонального преобразования, эквивалентное определению 34. Определение 34. Ортогональным преобразованием
или, другими словами, сохраняет длину каждого вектора из
и числитель и знаменатель в этом выражении не меняются при ортогональном преобразовании, то ортогональное преобразование сохраняет углы между векторами. Теорема 28. 1) Если линейное преобразование 2) Обратно, если линейное преобразование Доказательство.
Так как преобразование
т. е. векторы 2) Дано, что Пусть
В силу линейности
Так как базис
Так как базис
Мы получили, что для любого вектора Теорема 28 может быть принята в качестве нового определения ортогонального преобразования как преобразования, которое переводит ортонормированный базис снова в ортонормированный. На чертеже 6 показано ортогональное преобразование пространства Левый чертеж показывает, что преобразование
Черт. 6 другой случай, когда Смысл теоремы 28 состоит, следовательно, в том, что понятие ортогонального преобразования пространства Следующая теорема дает матричное описание ортогонального преобразования. Теорема 29. 1) Если линейное преобразование 2) Обратно, если линейное преобразование Доказательство. 1) Пусть линейное преобразование
Тогда матрицей преобразования
Так как по условию Таким образом, матрица 2) Пусть линейное преобразование
Следовательно, векторы-образы Из теоремы 29 следует, что произведение ортогональных преобразований есть снова ортогональное преобразование. А так как тождественное преобразование ортогонально и преобразование, обратное ортогональному, тоже ортогонально (см. пример 3, § 27), то ортогональные преобразования образуют группу. Она является подгруппой группы всех невырожденных дреобразований пространства
|
1 |
Оглавление
|