Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 23. ДЛИНА ВЕКТОРА. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ. НЕРАВЕНСТВО КОШИ—БУНЯКОВСКОГОАксиомы Будем исходить из пространства
где
Следовательно,
Этот результат приводит нас к следующему обобщению понятия длины вектора х произвольного евклидова пространства. Определение 26. Длиной вектора х в евклидовом пространстве Таким образом,
или
Число
т. е. при умножении вектора на вещественное число его длина умножается на модуль этого числа. Отсюда следует, что каждый ненулевой вектор х можно нормировать, умножив его на Примеры. 1. В пространстве
В качестве упражнения найдите длину вектора 2. В пространстве
Определение 27. Углом между ненулевыми векторами
Следовательно,
Чтобы определение угла было корректным, надо доказать, что
т. е. что
или что для любых векторов
Неравенство (4) называют неравенством Коши-Буняковского Для доказательства неравенства Коши-Буняковского рассмотрим вектор
где а — произвольное вещественное число. По аксиоме 14°
откуда в силу аксиом
Квадратный трехчлен относительно
или
Следовательно,
Из справедливости неравенства Коши-Буняковского для любых двух векторов пространства Покажем, что знак равенства в (7) имеет место тогда и только тогда, когда система векторов х, у линейно зависима. а) Если указанная система линейно независима, то б) Если же а: и у линейно зависимы, то для некоторого а будет
Из а) следует, что если скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин, то эти векторы линейно зависимы, т. е. коллинеарны. Примеры. 1. В пространстве 2. В пространстве
т. е. когда наборы координат пропорциональны. Упражнение(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|