Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 23. ДЛИНА ВЕКТОРА. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ. НЕРАВЕНСТВО КОШИ—БУНЯКОВСКОГОАксиомы Будем исходить из пространства
где
Следовательно,
Этот результат приводит нас к следующему обобщению понятия длины вектора х произвольного евклидова пространства. Определение 26. Длиной вектора х в евклидовом пространстве Таким образом,
или
Число
т. е. при умножении вектора на вещественное число его длина умножается на модуль этого числа. Отсюда следует, что каждый ненулевой вектор х можно нормировать, умножив его на Примеры. 1. В пространстве
В качестве упражнения найдите длину вектора 2. В пространстве
Определение 27. Углом между ненулевыми векторами
Следовательно,
Чтобы определение угла было корректным, надо доказать, что
т. е. что
или что для любых векторов
Неравенство (4) называют неравенством Коши-Буняковского Для доказательства неравенства Коши-Буняковского рассмотрим вектор
где а — произвольное вещественное число. По аксиоме 14°
откуда в силу аксиом
Квадратный трехчлен относительно
или
Следовательно,
Из справедливости неравенства Коши-Буняковского для любых двух векторов пространства Покажем, что знак равенства в (7) имеет место тогда и только тогда, когда система векторов х, у линейно зависима. а) Если указанная система линейно независима, то б) Если же а: и у линейно зависимы, то для некоторого а будет
Из а) следует, что если скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин, то эти векторы линейно зависимы, т. е. коллинеарны. Примеры. 1. В пространстве 2. В пространстве
т. е. когда наборы координат пропорциональны. Упражнение(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|