§ 23. ДЛИНА ВЕКТОРА. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ. НЕРАВЕНСТВО КОШИ—БУНЯКОВСКОГО

Аксиомы позволяют ввести в некоторые понятия метрического характера.

Будем исходить из пространства . Для скалярного произведения векторов определенного формулой

где длины векторов, имеем:

Следовательно,

Этот результат приводит нас к следующему обобщению понятия длины вектора х произвольного евклидова пространства.

Определение 26. Длиной вектора х в евклидовом пространстве называется неотрицательное значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора. Длина вектора х обозначается

Таким образом,

или

Число скалярный квадрат вектора по аксиоме 14° неотрицательно, и потому каждый вектор имеет вполне определенную неотрицательную длину. Нулевой вектор является единственным вектором, длина которого равна нулю. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным или нормированным. Если а — некоторое вещественное число, то по аксиоме 13° и определению длины вектора имеем:

т. е. при умножении вектора на вещественное число его длина умножается на модуль этого числа. Отсюда следует, что каждый ненулевой вектор х можно нормировать, умножив его на

Примеры. 1. В пространстве для вектора получаем выражение его длины:

В качестве упражнения найдите длину вектора и затем нормируйте его.

2. В пространстве длина вектора будет выражаться формулой

Определение 27. Углом между ненулевыми векторами евклидова пространства называется число

Следовательно,

Чтобы определение угла было корректным, надо доказать, что

т. е. что

или что для любых векторов имеет место неравенство:

Неравенство (4) называют неравенством Коши-Буняковского Для доказательства неравенства Коши-Буняковского рассмотрим вектор

где а — произвольное вещественное число.

По аксиоме 14°

откуда в силу аксиом получаем:

Квадратный трехчлен относительно стоящий в левой части (6), неотрицателен при всех значениях а, а потому его дискриминант не может быть положительным. Отсюда

или

Следовательно,

Из справедливости неравенства Коши-Буняковского для любых двух векторов пространства следует, что угол между любыми двумя ненулевыми векторами х и у существует всегда.

Покажем, что знак равенства в (7) имеет место тогда и только тогда, когда система векторов х, у линейно зависима.

а) Если указанная система линейно независима, то при любом а и согласно аксиоме 14° неравенства (5) и (6) будут строгими, а потому дискриминант квадратного трехчлена а будет отрицательным и в соотношении (7) будет знак

б) Если же а: и у линейно зависимы, то для некоторого а будет следовательно,

Из а) следует, что если скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин, то эти векторы линейно зависимы, т. е. коллинеарны.

Примеры. 1. В пространстве неравенство Коши-Буняковского следует непосредственно из (1).

2. В пространстве для векторов неравенство Коши-Буняковского принимает вид;

где знак будет тогда и только тогда, когда при некотором а

т. е. когда наборы координат пропорциональны.

Упражнение

(см. скан)