Отсюда следует, что а
ибо по свойству 3 уравнение
имеет единственное решение, а по аксиоме 3° этим решением является 0.
5.
, где 0 — нуль поля
В самом деле, по аксиоме 7°
Отсюда, как и при доказательстве свойства 4, получим, что
6. Если
то или
или
Если
то свойство 6 выполнено. Если
то в поле
существует число а такое, что
Тогда по аксиомам 5°, 6° и свойству 4 получаем:
По аксиомам 8°, 4° и свойству 5 получаем:
Значит, элемента
является противоположным для элемента
т. е. а
По аксиоме 7° и свойству 5
откуда, как и в свойстве 7, заключаем, что
в частности,
Действительно, по определению разности, аксиоме 8° и свойству 7 получаем:
В самом деле, по аксиоме 7°, свойству 8 и определению разности
Определение 2. Линейной комбинацией векторов а, b, с называется вектор х, получаемый по формуле
где а,
некоторые числа основного поля
Говорят при этом также, что вектор х линейно выражается через векторы а,
Для двух линейных комбинаций
по аксиомам
и свойствам
можно записать, что
тем самым получаем право приводить подобные члены.