§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Отметим некоторые свойства линейных пространств, которые непосредственно вытекают из аксиом

Аксиомы означают, что относительно операции сложения линейное пространство является коммутативной группой. Следовательно, все свойства коммутативных групп имеют место для линейных пространств. В частности:

1. В линейном пространстве существует единственный нуль.

2. В линейном пространстве для каждого элемента существует единственный противоположный элемент.

3. Уравнение а где любые данные элементы линейного пространства разрешимо в и притом единственным образом.

Уравнению а удовлетворяет вектор его называют разностью векторов и обозначают через . Таким образом, по определению разности имеем:

Другие свойства линейного пространства связаны с операцией умножения.

В самом деле, пусть а — произвольный вектор пространства а — произвольное число из Тогда по аксиомам 3° и

Отсюда следует, что а ибо по свойству 3 уравнение имеет единственное решение, а по аксиоме 3° этим решением является 0.

5. , где 0 — нуль поля

В самом деле, по аксиоме 7°

Отсюда, как и при доказательстве свойства 4, получим, что

6. Если то или или

Если то свойство 6 выполнено. Если то в поле существует число а такое, что Тогда по аксиомам 5°, 6° и свойству 4 получаем:

По аксиомам 8°, 4° и свойству 5 получаем:

Значит, элемента является противоположным для элемента т. е. а

По аксиоме 7° и свойству 5

откуда, как и в свойстве 7, заключаем, что в частности,

Действительно, по определению разности, аксиоме 8° и свойству 7 получаем:

В самом деле, по аксиоме 7°, свойству 8 и определению разности

Определение 2. Линейной комбинацией векторов а, b, с называется вектор х, получаемый по формуле

где а, некоторые числа основного поля Говорят при этом также, что вектор х линейно выражается через векторы а,

Для двух линейных комбинаций

по аксиомам и свойствам можно записать, что

тем самым получаем право приводить подобные члены.