§ 20. О ПРИВЕДЕНИИ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ДИАГОНАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Так как операции над линейными преобразованиями сводятся к соответствующим операциям над их матрицами, а матрицы линейных преобразований зависят от базиса, то интересным представляется вопрос о выборе базиса, в котором матрица данного линейного преобразования является наиболее простой.

Теорема 20. Если линейное преобразование пространства имеет линейно независимых собственных векторов, то в базисе, состоящем из этих векторов, матрица преобразования имеет диагональную форму.

Обратно, если в некотором базисе матрица преобразования диагональна, то все векторы этого базиса являются собственными векторами.

Доказательство, а) Пусть линейно независимые собственные векторы преобразования Имеем:

Эти равенства показывают, что если принять векторы за базис пространства, то матрица преобразования в этом базисе будет иметь вид:

т. е. будет диагональной матрицей.

б) Пусть в некотором базисе матрица преобразования диагональна и имеет вид (2). Это значит, что выполняются соотношения (1), следовательно, векторы базиса являются собственными векторами преобразования Теорема доказана.

Учитывая свойство 2 собственных векторов (§ 18), из теоремы 20, в частности, получаем: если характеристический многочлен преобразования пространства над полем имеет различных корней, принадлежащих полю то матрица преобразования приводится к диагональной форме.

Если же некоторые корни характеристического многочлена кратны, то вопрос о приведении матрицы преобразования к диагональной форме может решиться либо положительно, либо отрицательно в зависимости от числа линейно независимых собственных векторов. Если их число равно то приведение к диагональной форме возможно, если же оно меньше то невозможно. Вообще же вопрос о приведении матрицы линейного преобразования к простейшему виду в случае, когда среди корней характеристического многочлена имеются равные, довольно сложен.

Приведем без доказательства теорему о размерности подпространства

Теорема 21. Размерность подпространства принадлежащего корню характеристического многочлена, не превосходит кратности этого корня.

Позднее выяснится (теорема 32), что в случае, когда основное поле есть поле всех вещественных чисел, а матрица А, задающая линейное преобразование, симметрична, размерность пространства совпадает с кратностью корня V

Примеры. 1. Линейное преобразование пространства задано в некотором базисе матрицей

Можно ли путем перехода к новому базису привести матрицу этого преобразования к диагональному виду? Найти этот базис и соответствующую матрицу.

Решение. Находим, что

Для собственный вектор . Для находим два линейно независимых собственных вектора: . Векторы согласно свойству 3 (§ 18) линейно независимы. Приведение к диагональной форме оказалось возможным. Так как то в базисе матрица преобразования будет:

2. Для преобразования с матрицей

характеристический многочлен равен

Максимальная линейно независимая система собственных векторов, отвечающих состоит из двух векторов, например . Следовательно, по теореме 20 матрица данного линейного преобразования к диагональному виду не приводится.

Упражнения

(см. скан)