§ 14. СВЯЗЬ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В РАЗЛИЧНЫХ БАЗИСАХ

В § 12 было показано, что при фиксированном базисе всякое линейное преобразование пространства задается матрицей. Интересно, как изменяется матрица линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому. На этот вопрос отвечает Теорема 12. Если матрицы линейного преобразования пространства соответственно в базисах и матрица перехода от базиса к базису то

Доказательство. Рассмотрим векторы х Их координатные столбцы в базисе связаны равенством

Аналогично для их координатных столбцов в базисе имеем:

С другой стороны, как следует из § 7,

Отсюда

т. е.

Так как равенства (1) и (2) верны для любых векторов то матрицы и задают одно и то же линейное преобразование в базисе Следовательно,

Определение 14. Матрица А называется подобной матрице если существует такая невырожденная матрица что выпол няется авенство:

В этом случае говорят также, что матрица получается трансформированием матрицы А с помощью матрицы

Лемма. Если квадратные матрицы порядка то ранг ранг А и ранг ранг В.

Доказательство. Непосредственно перемножая матрицы замечаем, что столбцы матрицы являются линейными комбинациями столбцов матрицы Отсюда следует, что подпространство пространства натянутое на векторы-столбцы матрицы содержится в подпространстве натянутом на векторы-столбцы матрицы Следовательно, ранг ранг Аналогично, замечая, что строки матрицы являются линейными комбинациями строк матрицы В, получаем ранг ранг В.

Следствие 1. Если квадратные матрицы порядка и матрица В невырожденная, то

(т. е. при умножении матрицы справа или слева на невырожденную матрицу В ранг матрицы не изменяется).

В самом деле, по лемме ранг ранг По той же причине ранг ранг т. е. ранг ранг Отсюда ранг ранг Аналогично ранг ранг

Следствие 2. Ранг матрицы линейного преобразования пространства не изменяется при переходе от одного базиса к другому.

Справедливость следствия 2 вытекает непосредственно из теоремы 12 и следствия 1.

Пример. Линейное преобразование пространства имеет в базисе

матрицу

Найти матрицу того же преобразования в базисе:

Решение. Сначала находим матрицу перехода от базиса к базису Получаем:

Искомая матрица

Упражнения

(см. скан)