Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 25. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ВЕКТОРОВ. ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС. ОРТОГОНАЛЬНО-ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВООпределение 28. Векторы х и у евклидова пространства
Согласно определению 27 угол между ненулевыми ортогональными векторами равен Таким образом, понятие ортогональности является естественным обобщением понятия перпендикулярности. Поэтому для обозначения ортогональности векторов используют знак Если Из аксиомы 13° следует, что если Упражнения (см. скан) (см. скан) Отметим два свойства ортогональности векторов. Свойство 1. Любая система ненулевых попарно ортогональных векторов
линейно независима. Допустим, что система (3) линейно зависима. Тогда существуют не равные одновременно нулю числа
Не нарушая общности, положим
откуда, в силу Свойство 2. Если вектор
то он ортогонален к каждому из векторов линейного подпространства В самом деле, пусть
Свойство 2 является обобщением на любое евклидово пространство теоремы о двух перпендикулярах из элементарной геометрии (сделайте чертеж). Говорят, что вектор Упражнение (см. скан) Определение 29. Векторы Определение 30. Векторы
Существование ортогональных базисов доказывается конструктивно с помощью так называемого процесса ортогонализации. Теорема 24. Во всяком Доказательство. По условию в пространстве
Будем строить новый, ортогональный базис
Вектор
Вещественный множитель Алгебраически выбор
Черт. 5 Отсюда однозначно находим:
Заметим, что Если
где
откуда
Аналогично из
В результате имеем:
откуда следует, что Если
где коэффициенты Получим:
Этот процесс носит название процесса ортогонализации. Он продолжается до исчерпания векторов базиса Для получения ортонормированного базиса остается нормировать векторы Из теоремы 8 следует, что любой вектор утверждалось, а именно: любой вектор Следующая теорема показывает значение ортонормированных базисов в определении скалярного произведения. Теорема 25. 1) В ортонормированном базисе евклидова пространства скалярное произведение любых двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат:
где и 2) Обратно, если в некотором базисе Доказательство. 1) Пусть
По аксиомам
будем иметь выражение скалярного произведения в координатах в общем виде:
Учитывая условие ортонормированности векторов базиса, получаем наиболее простой вид для выражения скалярного произведения:
2) Пусть теперь в некотором базисе
имеет место (5):
Применим эту формулу для базисных векторов. Так как
то
Следовательно, векторы нашего базиса ортонормированы. Упражнения (см. скан) В качестве дополнения к свойству 2 ортогональных векторов докажем теперь, что совокупность Выберем ортогональный базис пространства Ею содержащий вектор
а потому
Пусть
Потребуем, чтобы
Отсюда Таким образом, любой вектор Определение 31. Ортогональным дополнением подпространства Докажем, что
Следовательно,
Следовательно, Тот факт, что подпространство Теорема 26. Пространство Доказательство. Согласно определению 8 достаточно доказать, что Таким образом,
пространства Пусть
Так как
Упражнения [7], № 1366, 1367. Пусть Пусть
где числа Из
Таким образом, получаем систему для отыскания чисел
Если базис
откуда находятся и притом однозначно коэффициенты Так как базис всегда можно ортонормировать, а исходное условие Отсюда следует, что при произвольном базисе
отличен от нуля (так называемый определитель Грама векторов Таким образом, числа Пример. Найти ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую
Решение. Система векторов
Так как
то система (7) принимает вид:
отсюда получаем:
Упражнения [7], № 1370—1372; [10], № 906. Расстоянием от вектора х до линейного многообразия Докажем, что указанное расстояние равно длине ортогональной составляющей Пусть Имеем:
Здесь
Так как первое слагаемое не зависит от и, то
что и требовалось доказать. Упражнение [7], № 1374. Теперь докажем, что из всех векторов линейного подпространства Пусть
а поэтому
Пусть теперь у — произвольный вектор из
получаем:
что и доказывает утверждение. Угол между вектором х и его ортогональной проекцией на подпространство Упражнения (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|