§ 25. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ВЕКТОРОВ. ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС. ОРТОГОНАЛЬНО-ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО

Определение 28. Векторы х и у евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е. если

Согласно определению 27 угол между ненулевыми ортогональными векторами равен

Таким образом, понятие ортогональности является естественным обобщением понятия перпендикулярности. Поэтому для обозначения ортогональности векторов используют знак

Если то т. е. нулевой вектор оказывается ортогональным к любому вектору.

Из аксиомы 13° следует, что если то и т. е. ортогональность двух векторов сохраняется при умножении любого из них на произвольное вещественное число.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

Отметим два свойства ортогональности векторов. Свойство 1. Любая система ненулевых попарно ортогональных векторов

линейно независима.

Допустим, что система (3) линейно зависима. Тогда существуют не равные одновременно нулю числа такие, что

Не нарушая общности, положим Умножив обе части (4) скалярно на и учитывая ортогональность вектора к остальным, получим, что

откуда, в силу следует, что Отсюда по аксиоме, 14° получаем что противоречит условию. Следовательно, допущение о линейной зависимости системы (3) неверно.

Свойство 2. Если вектор ортогонален к каждому из векторов

то он ортогонален к каждому из векторов линейного подпространства натянутого на векторы

В самом деле, пусть где произвольные вещественные числа. Согласно условию и аксиомам имеем:

Свойство 2 является обобщением на любое евклидово пространство теоремы о двух перпендикулярах из элементарной геометрии (сделайте чертеж). Говорят, что вектор ортогонален к подпространству и пишут если где -любой вектор из

Упражнение

(см. скан)

Определение 29. Векторы отличные от нулевого, образуют ортогональный базис -мерного евклидова пространства, если они попарно ортогональны.

Определение 30. Векторы евклидова пространства размерности образуют ортонормированный базис, если они попарно ортогональны и каждый имеет длину, равную 1, т. е. если

Существование ортогональных базисов доказывается конструктивно с помощью так называемого процесса ортогонализации.

Теорема 24. Во всяком -мерном евклидовом пространстве существуют ортогональные (а также и ортонормированные) базисы.

Доказательство. По условию в пространстве имеется некоторый базис, состоящий из векторов

Будем строить новый, ортогональный базис Положим:

Вектор будем искать в виде

Вещественный множитель подбираем так, чтобы было (Из чертежа 5 видно, какими соображениями следует руководствоваться при подборе

Алгебраически выбор производится так. Должно быть т. е.

Черт. 5

Отсюда однозначно находим:

Заметим, что иначе было бы что означает линейную зависимость системы векторов

Если то процесс окончен. Если то, построив и ищем в форме

где находим из условий . А именно, из следует:

откуда

Аналогично из находим:

В результате имеем:

откуда следует, что

Если то процесс окончен, в противном случае продолжаем его. Если уже построены векторы то вектор ищем в форме

где коэффициенты находим из условия

Получим:

Этот процесс носит название процесса ортогонализации. Он продолжается до исчерпания векторов базиса Полученные векторы по построению попарно ортогональны и отличны от нулевого, следовательно, они образуют ортогональный базис.

Для получения ортонормированного базиса остается нормировать векторы

Из теоремы 8 следует, что любой вектор можно включить в состав базиса линейного пространства Заметим, что и в теореме 24 доказано также нечто большее, чем в ней

утверждалось, а именно: любой вектор длины 1 можно дополнить до ортонормированного базиса пространства

Следующая теорема показывает значение ортонормированных базисов в определении скалярного произведения.

Теорема 25. 1) В ортонормированном базисе евклидова пространства скалярное произведение любых двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат:

где и координаты векторов х и у в указанном базисе.

2) Обратно, если в некотором базисе евклидова пространства скалярное произведение любых двух векторов задается формулой (5), то этот базис является ортонормированным.

Доказательство. 1) Пусть ортонормированный базис пространства так что

По аксиомам для векторов

будем иметь выражение скалярного произведения в координатах в общем виде:

Учитывая условие ортонормированности векторов базиса, получаем наиболее простой вид для выражения скалярного произведения:

2) Пусть теперь в некотором базисе для произвольных векторов

имеет место (5):

Применим эту формулу для базисных векторов. Так как

то

Следовательно, векторы нашего базиса ортонормированы.

Упражнения

(см. скан)

В качестве дополнения к свойству 2 ортогональных векторов докажем теперь, что совокупность векторов пространства ортогональных ненулевому вектору есть подпространство размерности

Выберем ортогональный базис пространства Ею содержащий вектор Значит,

а потому

Пусть произвольный вектор пространства

Потребуем, чтобы Тогда т. е.

Отсюда а потому

Таким образом, любой вектор линейно выражается через векторы А так как последние линейно независимы, то по определению 4 они составляют базис пространства Следовательно, по теореме

Определение 31. Ортогональным дополнением подпространства пространства называется совокупность всех векторов из ортогональных к

Докажем, что является подпространством пространства Пусть Это означает, что если х — произвольный вектор из то и потому

Следовательно, Кроме того, для произвольного вещественного числа а и любого имеем:

Следовательно, По теореме 7 получаем, что подпространство.

Тот факт, что подпространство названо дополнением подпространства объясняется следующей теоремой.

Теорема 26. Пространство есть прямая сумма подпространств

Доказательство. Согласно определению 8 достаточно доказать, что Пусть Тогда по определению пространства Отсюда по аксиоме

Таким образом, Покажем, теперь, что Пусть ортогональный базис пространства Дополним этот базис до базиса всего пространства векторами После выполнения ортогонализации получим ортогональный базис

пространства Тогда при будем иметь Следовательно,

Пусть любой вектор из и

Так как

Упражнения

[7], № 1366, 1367.

Пусть линейное подпространство пространства Докажем, что любой вектор х из однозначно представляется в виде где Вектор у называется ортогональной проекцией вектора на подпространство ортогональной составляющей вектора относительно

Пусть некоторый базис подпространства Будем искать вектор у, требуемый задачей в виде

где числа найдем из условия ортогональности вектора

Из следует, что а отсюда

Таким образом, получаем систему для отыскания чисел

Если базис ортонормален, то система (7) обращается в систему

откуда находятся и притом однозначно коэффициенты

Так как базис всегда можно ортонормировать, а исходное условие не зависит от базиса, то тем самым доказано существование и единственность вектора у, такого, что

Отсюда следует, что при произвольном базисе определитель системы (7)

отличен от нуля (так называемый определитель Грама векторов

Таким образом, числа находим из системы (7), а затем по формуле (6) и сам вектор у. Найдя вектор у, полагаем .

Пример. Найти ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую вектора на линейное пространство натянутое на векторы

Решение. Система векторов базис Пусть

Так как

то система (7) принимает вид:

отсюда получаем:

Упражнения

[7], № 1370—1372; [10], № 906.

Расстоянием от вектора х до линейного многообразия называется минимум расстояний от данного вектора до векторов многообразия, т. е. минимум длин векторов и, где вектор из

Докажем, что указанное расстояние равно длине ортогональной составляющей векторов относительно линейного подпространства

Пусть где у — ортогональная проекция вектора на его ортогональная составляющая относительно так что

Имеем:

Здесь а потому

Так как первое слагаемое не зависит от и, то достигается при который равен нулю (при Следовательно,

что и требовалось доказать.

Упражнение

[7], № 1374.

Теперь докажем, что из всех векторов линейного подпространства наименьший угол с данным вектором образует ортогональная проекция у вектора на

Пусть где у и 2 имеют тот же смысл, что и выше. Тогда

а поэтому

Пусть теперь у — произвольный вектор из Учитывая, что

получаем:

что и доказывает утверждение.

Угол между вектором х и его ортогональной проекцией на подпространство называется углом между

Упражнения

(см. скан)