§ 15. ДЕЙСТВИЯ НАД ЛИНЕЙНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ И МАТРИЦАМИ. КОЛЬЦО ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И КОЛЬЦО МАТРИЦ

В приложениях приходится иметь дело с несколькими преобразованиями, которые используются в различных комбинациях друг с другом. Чаще всего используют либо последовательное применение двух преобразований, либо так называемую сумму преобразований.

Пусть даны линейные преобразования действующие в линейном пространстве Напомним, что два преобразования считаются равными, если для любого вектора будет

Определение 15. Суммой линейных преобразований называется преобразование которое ставит в соответствие вектору х вектор т. е.

Так как суть вполне определенные векторы (образы вектора х в преобразованиях то и будет вполне определенным вектором. Значит, является преобразованием пространства Покажем, что преобразование будет линейным. По определению 15 и по линейности преобразований имеем, что

Определение 16. Произведением линейного преобразования на число называется преобразование определяемое равенством

Преобразование линейно, так как

Определение 17. Произведением линейных преобразований называется преобразование (обозначаемое через состоящее в последовательном выполнении сначала преобразования а затем преобразования

По этому определению

т. е. сначала на вектор х действуют преобразованием а затем на полученный вектор действуют преобразованием

Преобразование линейно, так как

Вообще говоря,

Выясним, как описываются операции над линейными преобразованиями в матричной форме. Иначе, пусть преобразования в некотором базисе заданы матрицами Вопрос состоит в том, чтобы узнать, каковы будут матрицы преобразований

Пусть

Значит,

Чтобы найти матрицу преобразования надо найти разложения векторов в базисе По определению 15 имеем:

Как видим, матрицей преобразования в том же базисе является матрица т. е. сумме преобразований соответствует сумма их матриц.

Для получения матрицы преобразования находим разложения векторов в базисе

Отсюда замечаем, что элемент матрицы преобразования построен по закону:

Значит, матрица преобразования равна произведению матрицы А на матрицу В, т. е. произведению преобразований соответствует произведение их матриц.

Таким образом, множество линейных преобразований пространства над полем относительно операций сложения и умножения изоморфно множеству квадратных матриц порядка с элементами из поля А так как указанное множество матриц образует кольцо, то это же самое можно сказать и о множестве линейных преобразований. Следовательно, доказана

Теорема 13. Множество линейных преобразований пространства над полем образует кольцо, изоморфное кольцу квадратных матриц порядка с элементами из поля

Отсюда, в частности, следует, что сложение и умножение линейных преобразований пространства обладают свойствами:

Таким образом, установленный изоморфизм позволил нам перенести свойства матриц на линейные преобразования. Однако на основании того же изоморфизма можно свойства линейных преобразований переносить на матрицы. При этом в ряде случаев мы получаем значительные упрощения в доказательствах. Например, свойство 3° для матриц доказывается громоздко: нужно найти и сравнить элементы, стоящие на пересечении строки и столбца матриц В то же время свойство 3° для линейных преобразований доказывается весьма просто. В самом деле, по определению 16

С другой стороны,

Отсюда и следует 3°. Аналогичное замечание можно сделать относительно свойства 4°. (Докажите его на языке линейных преобразований.)

Во множестве линейных преобразований пространства можно выделить нуль-преобразование 0, которое каждому вектору ставит в соответствие нуль-вектор 0 этого пространства. Матрицей этого преобразования в любом базисе будет нулевая матрица

Обозначим через так называемое тождественное линейное преобразование, ставящее в соответствие каждому вектору этот же вектор для любого Матрицей этого преобразования в любом базисе будет единичная матрица

Для нулевого и единичного преобразований для любого преобразования имеют место следующие очевидные равенства:

Примеры. 1. Пусть линейное преобразование пространства переводит линейно независимые векторы в векторы соответственно. Доказать, что матрица этого преобразования в некотором базисе равна где столбцы матриц состоят из координат векторов и соответственно в базисе

Решение. Обозначим

- столбец координат вектора в базисе

- столбец координат вектора в базисе

Так как по условию то по формуле (5) § 12 получаем:

Отсюда следует, что матрица, составленная из столбцов равна произведению на матрицу, составленную из столбцов т. е. А так как система векторов по условию линейно независима, то но следствию 2 из теоремы 4 матрица А невырожденная и имеет обратную. Следовательно,

2. Преобразование в базисе имеет матрицу

Преобразование в базисе имеет матрицу

Найти матрицу преобразования в базисе

Найдем сначала матрицу преобразования в базисе По теореме 12 (§ 14) имеем:

где матрица перехода от базиса к базису А так как

то

Упражнения

(см. скан)