§ 30. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕВЫРОЖДЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА СИММЕТРИЧЕСКОЕ

В предыдущих параграфах были подробно рассмотрены ортогональные и симметрические преобразования евклидова пространства. Интерес, который представляет изучение этих преобразований, обусловлен не только их самостоятельной ценностью, но и той важной ролью, которую они играют в исследовании линейных преобразований самого общего вида.

Введем понятие преобразования сопряженного данному линейному преобразованию со, пространства по определению если в некотором ортонормированном базисе преобразование задано матрицей А, то преобразованием задается в том же базисе транспонированной матрицей А. Указанная связь между матрицами преобразований со и о сохранится и после перехода к новому ортонормированному базису так как матрица А перейдет при этом в матрицу а матрица А — в матрицу (Здесь матрица перехода от базиса к базису являющаяся, как известно из § 27, ортогональной матрицей, так что

Пусть

так что матрицей преобразования является

Рассмотрим два произвольных вектора х и у из

Непосредственные вычисления (выполнение которых предлагаем в качестве упражнения) показывают, что для преобразований будет иметь место следующее равенство скалярных произведений:

где х и у — произвольные векторы из

Из теоремы 30 следует, что симметрическое преобразование совпадает со своим сопряженным (поэтому симметрические преобразования называют самосопряженными). Из определения 34 и теоремы 29 следует, что преобразование будет ортогональным тогда и только тогда, когда его обратное преобразование совпадает с сопряженным, т. е. когда (докажите это в качестве упражнения).

Пусть — произвольное невырожденное линейное преобразование пространства — матрица этого преобразования в некотором ортонормированном базисе Рассмотрим сопряженное преобразование . Его матрицей в том же базисе является А Преобразованию сосо соответствует в том же базисе согласно § 15 матрица Так как то получаем, что преобразование является симметрическим. Если нормированный собственный вектор преобразования с собственным значением то и

С другой стороны, в силу (1) имеем:

Мы получили, что т. е. собственные значения симметрического преобразования неотрицательны (такие симметрические преобразования называются положительно определенными). По теореме 32 преобразование имеет попарно ортогональных собственных векторов и в базисе, составленном из этих векторов, его матрицей будет

где неотрицательны. Рассмотрим наряду с В вещественную матрицу

Линейное преобразование с матрицей С в базисе будет симметрическим, причем так как в матрицах Заметим, что преобразование сосо является невырожденным, так как причем ввиду невырожденности со. Из следует невырожденность преобразования и существование преобразования обратного для Отсюда

Преобразование ортогонально. В самом деле, ибо для соответствующих матриц, как известно, Преобразование симметрическое, а потому Тогда ортогональность преобразования следует из того, что

Полученное представление (2) доказывает следующую теорему.

Теорема 33. Всякое невырожденное линейное преобразование пространства можно представить в виде произведения ортогонального преобразования на симметрическое.

Теорема 33 на языке матриц формулируется так: всякую невырожденную вещественную матрицу можно представить в виде произведения ортогональной матрицы на симметрическую.

Для примера рассмотрим матрицу

Преобразование имеет матрицу

Так как Преобразование имеет матрицу

Преобразование имеет матрицу

Искомое представление:

Упражнения

(см. скан)