§ 24. ПОНЯТИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

Докажем так называемое неравенство треугольника для любых двух векторов Используя аксиомы и неравенство Коши — Буняковского, получаем:

откуда

Неравенство (1) называют неравенством треугольника. Это название оправдывается тем, что в случае пространства мы имеем дело с треугольником, длины сторон которого суть (сделайте чертеж).

В пространстве неравенство (1) запишется в таком виде:

Выясним, когда в соотношении (1) имеет место знак Случай, когда хотя бы один из векторов нулевой, очевиден.

а) Пусть оба вектора и у ненулевые, но

Тогда

С другой стороны,

Следовательно,

а это, как мы видели ранее (§ 23), означает, что где а — вещественное число, и (последнее потому, что так как оба вектора ненулевые). Значит,

откуда следует, что

б) Обратно, пусть где Тогда

и, значит, при где в соотношении (1), имеет место знак

Итак, для ненулевых векторов х и у в соотношении (1) имеет место знак тогда и только тогда, когда где т. е. когда векторы и у коллинеарны и одинаково направлены.

Длина вектора является, таким образом, неотрицательной числовой функцией, определенной на и обладающей свойствами:

Произвольное линейное пространство R (не обязательно евклидово), на котором задана числовая функция обладающая свойствами 1—3, называется нормированным, сама же функция называется нормой вектора.

Таким образом, евклидовы пространства являются нормированными, причем нормой вектора является его длина.

Введем понятие расстояния между двумя векторами произвольного нормированного пространства положив

Это определение находится в полном соответствии со свойствами расстояния в обычном трехмерном пространстве. Действительно, если точка А в пространстве является концом вектора , а точка В — концом вектора то расстояние между точками есть не что иное, как длина вектора А В, равного

На основе аксиом нормы (т. е. аксиом 1 —3 можно получить, что при этом:

а) тогда и только тогда, когда (свойство тождества),

б) (свойство симметрии),

в) (свойство треугольника).

В самом деле, из 1 по определению (2) следует а).

По аксиоме 3 и определению (2) получаем б), так как

Свойство в) получаем по определению (2), пользуясь аксиомой 2:

Произвольное множество, в котором определена неотрицательная вещественная функция обладающая свойствами а), б), в) (аксиомами метрики), называется метрическим пространством. Следовательно, всякое нормированное (в частности, евклидово) пространство является метрическим пространством.

Для евклидова пространства расстояние между векторами определяется формулой

в частности,

т. е. длина вектора х есть расстояние от этого вектора х (точки до вектора 0 (точки 0) — до «начала координат» 0.