Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 24. ПОНЯТИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВАДокажем так называемое неравенство треугольника для любых двух векторов
откуда
Неравенство (1) называют неравенством треугольника. Это название оправдывается тем, что в случае пространства В пространстве
Выясним, когда в соотношении (1) имеет место знак а) Пусть оба вектора и у ненулевые, но
Тогда
С другой стороны,
Следовательно,
а это, как мы видели ранее (§ 23), означает, что
откуда следует, что б) Обратно, пусть
и, значит, при Итак, для ненулевых векторов х и у в соотношении (1) имеет место знак Длина вектора
Произвольное линейное пространство R (не обязательно евклидово), на котором задана числовая функция Таким образом, евклидовы пространства являются нормированными, причем нормой вектора является его длина. Введем понятие расстояния
Это определение находится в полном соответствии со свойствами расстояния в обычном трехмерном пространстве. Действительно, если точка А в пространстве является концом вектора На основе аксиом нормы (т. е. аксиом 1 —3 можно получить, что а) б) в) В самом деле, из 1 по определению (2) следует а). По аксиоме 3 и определению (2) получаем б), так как
Свойство в) получаем по определению (2), пользуясь аксиомой 2:
Произвольное множество, в котором определена неотрицательная вещественная функция Для евклидова пространства
в частности,
т. е. длина вектора х есть расстояние от этого вектора х (точки
|
1 |
Оглавление
|